精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C1與坐標軸的交點依次是A(-4,0),B(-2,0),E(0,8).
(1)求拋物線C1關(guān)于原點對稱的拋物線C2的解析式;
(2)設(shè)拋物線C1的頂點為M,拋物線C2與x軸分別交于C,D兩點(點C在點D的左側(cè)),頂點為N,四邊形MDNA的面積為S.若點A,點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動;與此同時,點M,點N同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動,直到點A與點D重合為止.求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)當(dāng)t為何值時,四邊形MDNA的面積S有最大值,并求出此最大值;
(4)在運動過程中,四邊形MDNA能否形成矩形?若能,求出此時t的值;若不能,請說明理由.
分析:(1)可先求出A、B、E關(guān)于原點對稱的對稱點的坐標,然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)不難得出OA=OD,OM=ON,因此四邊形AMDN是平行四邊形,那么其面積就是三角形ADN面積的2倍,可據(jù)此來求S,t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)(2)得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值.
(4)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知:當(dāng)AD=MN時,平行四邊形AMDN是矩形,那么OD=ON,據(jù)此可求出t的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)點A(-4,0),點B(-2,0),點E(0,8)關(guān)于原點的對稱點分別為D(4,0),C(2,0),F(xiàn)(0,-8).
設(shè)拋物線C2的解析式是y=ax2+bx+c(a≠0),
16a+4b+c=0
4a+2b+c=0
c=-8

解得
a=-1
b=6
c=-8
,
所以所求拋物線的解析式是y=-x2+6x-8.

(2)由(1)可計算得點M(-3,-1),N(3,1).
過點N作NH⊥AD,垂足為H.
當(dāng)運動到時刻t時,AD=2OD=8-2t,NH=1+2t.
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)OA=OD,OM=ON,
所以四邊形MDNA是平行四邊形.
所以S=2S△ADN
所以,四邊形MDNA的面積S=(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8.
因為運動至點A與點D重合為止,據(jù)題意可知0≤t<4.
所以所求關(guān)系式是S=-4t2+14t+8,t的取值范圍是0≤t<4.

(3)S=-4(t-
7
4
2+
81
4
,(0≤t<4).
所以t=
7
4
時,S有最大值
81
4

提示:也可用頂點坐標公式來求.

(4)在運動過程中四邊形MDNA能形成矩形.
由(2)知四邊形MDNA是平行四邊形,對角線是AD,MN,
所以當(dāng)AD=MN時四邊形MDNA是矩形,
所以O(shè)D=ON.所以O(shè)D2=ON2=OH2+NH2,
所以t2+4t-2=0.
解之得t1=
6
-2,t2=-
6
-2(舍).
所以在運動過程中四邊形MDNA可以形成矩形,此時t=
6
-2.
點評:本題以二次函數(shù)為背景,結(jié)合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題,是一道較傳統(tǒng)的壓軸題,能力要求較高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當(dāng)點P、M關(guān)于點B成中心對稱時,求C3的解析式;
(3)如圖(2),點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當(dāng)以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時,求點Q的坐標.
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如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點A的橫坐標是-1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當(dāng)點P、M關(guān)于點A成中心對稱時,求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點Q是x軸負半軸上一動點,將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當(dāng)以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,求頂點N的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線c1:y=-
14
x2+bx+c
與x軸交于點A、B(點A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,拋物線c2與拋物線c1關(guān)于y軸對稱,點A、B的對稱點分別是E、D,連接CD、CB,設(shè)AD=m.
(1)拋物線c2可以看成拋物線c1向右平移
m
m
個單位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)將△CDB沿直線BC折疊,點D的對應(yīng)點為G,且四邊形CDBG是平行四邊形,
①△CDB為
等邊
等邊
三角形(按邊分);
②若點G恰好落在拋物線c2上,求m的值.

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如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B精英家教網(wǎng)的左側(cè)),點B的橫坐標是1;
(1)求a的值;
(2)如圖,拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點為M,當(dāng)點P、M關(guān)于點O成中心對稱時,求拋物線C3的解析式.

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如圖,已知拋物線C1y=
12
x2
,把它平移后得拋物線C2,使C2經(jīng)過點A(0,8),且與拋物線C1交于點B(2,n).在x軸上有一點P,從原點O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸正半軸的方向移動,設(shè)點P移動的時間為t秒,過點P作x軸的垂線l,分別交拋物線C1、C2于E、D,當(dāng)直線l經(jīng)過點B前停止運動,以DE為邊在直線l左側(cè)畫正方形DEFG.
(1)判斷拋物線C2的頂點是否在x軸上,并說明理由;
(2)當(dāng)t為何值時,正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分的面積S有最大值?最大值為多少?
(3)設(shè)M為正方形DEFG的對稱中心.當(dāng)t為何值時,△MOP為等腰三角形?

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