【題目】已知,平行四邊形中,連接,,過點(diǎn)作,垂足為,延長(zhǎng)與相交于點(diǎn).
(1)如圖1,若,,求線段的長(zhǎng);
(2)如圖2,若,過點(diǎn)作于點(diǎn),連接、.求證:.
【答案】(1)AD=;(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)垂直的定義得到∠AEB=∠BEC=90°,根據(jù)勾股定理得到BE=,BC=,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)果;
(2)推出△AEB是等腰直角三角形,得到∠ABE=45°,設(shè)∠CBE=x,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°+x,求得∠EBC=22.5°,∠ACB=67.5°,推出A、B、C、F四點(diǎn)共圓,A、E、F、G四點(diǎn)共圓,得到∠CAF=∠CBE=22.5°,∠EGF=∠EAF=22.5°,求得∠AGE=67.5°,推出AE=GE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)解:∵BE⊥AC,
∴∠AEB=∠BEC=90°,
∵AE=2,CE=1,
∴AC=AB=3,
∴BE==,
∴BC==,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC=;
(2)證明:∵BE⊥AC,
∴∠AEB=∠BEC=90°,
∵∠BAC=45°,
∴△AEB是等腰直角三角形,
∴∠ABE=45°,AE=BE,
∵AB∥CD,
∴∠ACF=45°,∠ABC+∠DCB=180°,
設(shè)∠CBE=x,
∴∠ABC=45°+x,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°+x,
∵∠EBC+∠ECB=90°,
∴x+45°+x=90°,
∴x=22.5°,
∴∠EBC=22.5°,∠ACB=67.5°,
∵∠ABF=∠ACF=45°,
∴A、B、C、F四點(diǎn)共圓,
∴∠CAF=∠EBC=22.5°,
∵FG⊥AD,
∴∠AGF=∠AEF=90°,
∴A、E、F、G四點(diǎn)共圓,
∴∠EGF=∠EAF=22.5°,
∴∠AGE=67.5°,
∵∠CAD=∠ACB=67.5°,
∴∠EAG=∠AGE,
∴AE=GE,
∵AC=AB=AE,
∴BE+EC=AE+EC=AC=EG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),矩形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在軸和軸上,已知OA=5,OB=3,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線BCA的方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),運(yùn)動(dòng)停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.
(1)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí),求直線DP的函數(shù)解析式;
(2)求△OPD的面積S關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出對(duì)應(yīng)的取值范圍;
(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某些位置使△ADP是不以DP為底邊的等腰三角形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】聯(lián)合國(guó)規(guī)定每年6月25日是“世界環(huán)境日”,某校編寫了關(guān)于環(huán)境保護(hù)的個(gè)問答題讓學(xué)生學(xué)習(xí),為了解學(xué)生對(duì)個(gè)問答題的掌握情況,隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行答題測(cè)試,并根據(jù)測(cè)試結(jié)果得出下面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,回答下列問題(其中分別表示答對(duì)個(gè)題,答對(duì)個(gè)題,答對(duì)個(gè)題,答對(duì)個(gè)題,答對(duì)個(gè)題的人數(shù)) :
(1)參加測(cè)試的學(xué)生有多少人?其中“答對(duì)個(gè)題”的有多少人數(shù)?
(2)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校共有名學(xué)生,估計(jì)該校能“答對(duì)個(gè)題”以上(含個(gè)題)的人數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1) 請(qǐng)你判斷DA與CE的位置關(guān)系,并說明理由;
(2) 若DA平分∠BDC,CE⊥AE于點(diǎn)E,∠1=70°,試求∠FAB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,、分別為邊、的中點(diǎn),是對(duì)角線,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求證:四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】背景情境:
賽賽同學(xué)在學(xué)習(xí)《一元二次方程》中做過這樣一道題:
題目:已知實(shí)數(shù)、滿足,,且,求的值.
解:根據(jù)題意得
與為方程的兩根,
∴,
∴
請(qǐng)認(rèn)真閱讀賽賽同學(xué)解題的方法,仔細(xì)思考.
解決問題:
(1)已知實(shí)數(shù)、滿足,,且,求的值.
(2)設(shè)實(shí)數(shù)、分別滿足,,且,求的值.
(3)已知關(guān)于的方程有兩個(gè)根、滿足.當(dāng)的三邊、、滿足,,(a≠b).求的值以及的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A1,A2在射線OA上,B1在射線OB上,依次作A2B2∥A1B1 ,A3B2∥A2B1 , A3B3∥A2B2 , A4B3∥A3B2 , ….若△A2B1B2和△A3B2B3的面積分別為1、9,則△A1007B1007A1008的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在10×10的網(wǎng)格中,有一格點(diǎn)三角形ABC.(說明:頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形叫做格點(diǎn)三角形)
(1)將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°,得到△A′B′C,請(qǐng)直接畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C.(友情提醒:別忘了標(biāo)上相應(yīng)的字母!)
(2)在網(wǎng)格中以AB為一邊作格點(diǎn)△ABD(頂點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)處的三角形稱為格點(diǎn)三角形),使它的面積是△ABC的2倍,則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)有個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,E是BC邊的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則在題中條件下,下列結(jié)論不能成立的是( )
A. BE=CE B. AB=BF C. DE=BE D. AB=DC
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