Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過拋物線的頂點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，作直線.

（1）求直線的解析式；

（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)直線上的一點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，作射線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)線段的長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，在線段上有一點(diǎn)，連接，，線段交線段于點(diǎn)，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為.（2）.（3）或

【解析】

（1）根據(jù)拋物線可得對稱軸，可知點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得一次函數(shù)BE的解析式；

（2）如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)拋物線過點(diǎn)，可得a的值，計(jì)算y＝0時，x的值可得C和D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而知CD的值，根據(jù)P的橫坐標(biāo)可表示其縱坐標(biāo)，根據(jù)，，列方程為，可得結(jié)論；

（3）如圖，延長HF交x軸于T，先根據(jù)已知得∠FDO＝∠FTO，由等角的三角函數(shù)相等和（2）中的結(jié)論得：tan∠FDO＝tan∠FTO，則，可得ET和CT的長，令∠FDO＝∠FTO＝2α，表示角可得∠TCQ＝∠TQC，則TQ＝CT＝5，

設(shè)Q的坐標(biāo)為，根據(jù)定理列方程可得：TS2＋QS2＝TQ2，，解得，；根據(jù)兩個t的值分別求n的值即可．

解：（1）拋物線的對稱軸為，

∴，

設(shè)直線的解析式為，

則，解得：，

∴直線的解析式為；

（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵拋物線經(jīng)過，∴，∴，

∴，

當(dāng)時，，解得，，

∴，，∴，，∴，.

∵點(diǎn)在拋物線上，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴，，

∴，

∵軸，∴，∴，∴，

∴.

∴，，在中，.

∴，

∴.

（3）如圖，延長交軸于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，

在中，，∴，∴.

∴，令，∴，

∴，，

∴.

∴.

∵點(diǎn)在直線上，∴可設(shè)的坐標(biāo)為.

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，

在中，，∴，

解得，.

①如圖2，當(dāng)時，，，

在中，，∴，∴.

∴.

②如圖3，當(dāng)時，，，

在中，，∴，∴，

∴.