Question

梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，對(duì)角線BD平分∠ABC，
（1）求證：四邊形ABED是菱形．
（2）若∠ABC與∠C互余，BC=8，CD=4，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，再通過(guò)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明其鄰邊相等即可證明四邊形ABED是菱形；
（2）設(shè)AB=x，由（1）可知四邊形ABED是菱形，所以AD=AB=BE=ED=x，再有條件∠ABC與∠C互余，可證明三角形EDC是直角三角形，利用勾股定理建立方程求出x的值即可．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD，
∵AB∥DE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴四邊形ABDE是菱形；

（2）解：設(shè)AB=x，
∵四邊形ABED為菱形，
∴AD=AB=BE=ED=x，
∴CE=BC-BE=8-x，
∵∠DEC=∠ABC，∠ABC+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
∴∠CDE=90°
∴DE2+CD2=CE2√
∴4²+x²=（8-x）²，
∴x=3
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)=x+x+8+4=18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、勾股定理的運(yùn)用、菱形的判定以及菱形的性質(zhì)，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定定理及菱形的性質(zhì)．