Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過直線y=﹣x+5與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)B，C．已知D（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）M，N分別是BC，x軸上的動點(diǎn)，求△DMN周長最小時點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，并寫出周長的最小值；
（3）連接BD，設(shè)M是平面上一點(diǎn)，將△BOD繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△B1O1D1 ， 點(diǎn)B，O，D的對應(yīng)點(diǎn)分別是B1 ， O1 ， D1 ， 若△B1O1D1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn)O1的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意C（0，5），B（5，0），

把C（0，5），B（5，0）的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得到 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5．

（2）解：如圖1中，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D″，連接D′D″交BC于M，交x軸于N，連接DM，DN．此時△DMN的周長最小．

易知D′（2，5），D″（0，﹣3），

設(shè)直線D′D″的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得 ，

∴y=4x﹣3，

∴N（ ，0），

由 ，解得 ，

∴M（ ， ），

∴△DMN周長最小時點(diǎn)M（ ， ），N（ ，0），

△DMN的周長的最小值=D′D″= =2 ．

（3）解：①如圖2中，當(dāng)O′和D′在拋物線上時，易知點(diǎn)O′與點(diǎn)C重合，CD′=OD=3，此時O′（0，5）．

②如圖3中，點(diǎn)B′、D′在拋物線上時，設(shè)點(diǎn)B′（x，﹣x2+4x+5）的橫坐標(biāo)為x+1，則點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（x+3，﹣x2+4x+10）．

把D′坐標(biāo)代入y=﹣x2+4x+5中，得到﹣x2+4x+10=﹣（x+3）2+4（x+3）+5，

解得x=﹣ ，

∴B′（﹣ ， ），

∴O′（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（0，5）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）如圖1中，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D″，連接D′D″交BC于M，交x軸于N，連接DM，DN．此時△DMN的周長最小．求出D′、D″的坐標(biāo)，直線D′D″的解析式即可解決問題；（3）分兩種情形①如圖2中，當(dāng)O′和D′在拋物線上時，易知點(diǎn)O′與點(diǎn)C重合，CD′=OD=3，此時O′（0，5）．②如圖3中，點(diǎn)B′、D′在拋物線上時，設(shè)點(diǎn)B′（x，﹣x2+4x+5）的橫坐標(biāo)為x+1，則點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（x+3，﹣x2+4x+10）．把D′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出x即可解決問題；
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．