如圖①,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn),PN⊥AC于點(diǎn)N,PM⊥AB于點(diǎn)M,CG⊥AB于點(diǎn)G,則CG=PM+PN.
(1)如圖②,若點(diǎn)P在BC的延長線上,則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系,若有,請說明理由,若沒有,猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖③,AC是正方形ABCD的對角線,AE=AB,點(diǎn)P是BE上任一點(diǎn),PN⊥AB于點(diǎn)N,PM⊥AC于點(diǎn)M,猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系;(直接寫出結(jié)論)
(3)觀察圖①、②、③的特性,請你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形,使它仍然具有PM、PN、CG這樣的線段,并滿足圖①或圖②的結(jié)論,寫出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論
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分析:(1)猜想CG=PM-PN.過C點(diǎn)作CE⊥PM于E,則根據(jù)已知條件容易證明四邊形CGME是矩形,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得到
∠ECP=∠PCN,而∠PNC=∠PEC=90°,PC公共,可以證明△PNC≌△PEC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明猜想的結(jié)論;
(2)PM+PN=
1
2
AC.連接BD,交AC于O,過點(diǎn)P作PF⊥BD于F,由于AE=AB,根據(jù)(1)可以得到PM+PN=BO=
1
2
BD=
1
2
AC;
(3)點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離的和(或差)等于這個(gè)等腰三角形腰上的高.如圖③,④都有BG=PM+PN.如圖⑤CG=PM-PN.證明過程也是利用(1)的結(jié)論得到CG=PM-PN.
解答:精英家教網(wǎng)
(1)猜想CG=PM-PN
證明:過C點(diǎn)作CE⊥PM于E
∵PN⊥AB,CG⊥AB
∴四邊形CGME是矩形
∴ME=CG,CE∥AB
∴∠B=∠ECP
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB=∠PCN
∴∠ECP=∠PCN
∵∠PNC=∠PEC=90°,PC=PC
∴△PNC≌△PEC
∴PN=PE
∴CG=ME=PM-PE=PM-PN.(4分)

(2)PM+PN=
1
2
AC
證明:連接BD,交AC于O,過點(diǎn)P作PF⊥BD于F
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠COB=90°,OB=OC=
1
2
AC
∵PM⊥AC
∴四邊形PFOM為矩形
∴MP=OF,PF∥AC
∴∠OEP=∠FPB
∵AE=AB
∴∠OEP=∠ABP
∴∠ABP=∠FPB
∵PB=PB,∠PFB=∠PNB=90°
∴△PFB≌△BNP
∴BF=PN
∴OB=OF+FB=PM+PN=
1
2
AC.(8分)

(3)點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離的和(或差)等于這個(gè)等腰三角形腰上的高.
如圖③,④都有BG=PM+PN,如圖⑤CG=PM-PN.(10分)
點(diǎn)評:此題主要考查了等腰三角形的一個(gè)結(jié)論:點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離的和(或差)等于這個(gè)等腰三角形腰上的高,然后把這個(gè)結(jié)論放在不同的圖形背景中,進(jìn)行圖形變換,無論變換成什么圖形,但結(jié)論還是一樣.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)定義:若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形,則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.
探究:
(1)如圖甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎?若能,請?jiān)趫D甲中畫出分割線,并說明理由.
(2)一般地,“任意三角形都是自相似圖形”,只要順次連接三角形各邊中點(diǎn),則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形.我們把△DEF(圖乙)第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為1階分割(如圖1);把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為2階分割(如圖2)…依次規(guī)則操作下去.n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形(n為正整數(shù)),設(shè)此時(shí)小三角形的面積為SN
①若△DEF的面積為10000,當(dāng)n為何值時(shí),2<Sn<3?(請用計(jì)算器進(jìn)行探索,要求至少寫出三次的嘗試估算過程)
②當(dāng)n>1時(shí),請寫出一個(gè)反映Sn-1,Sn,Sn+1之間關(guān)系的等式.(不必證明)精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,若已知△ABC中,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),則可得DE∥BC,且DE=
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BC.根據(jù)上面的結(jié)論:
(1)你能否說出順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn),可得到一個(gè)什么特殊四邊形并說明理由;
(2)如果將(1)中的“任意四邊形”改為條件是“平行四邊形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”,那么它們的結(jié)論又分別怎樣呢?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•德州)(1)如圖1,已知△ABC,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE,CD,請你完成圖形,并證明:BE=CD;(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)如圖2,已知△ABC,以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE,CD,BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡單說明理由;
(3)運(yùn)用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識,完成下題:
如圖3,要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)B,E的距離,已經(jīng)測得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)添線補(bǔ)全如圖1幾何體的三視圖.

(2)如圖2,已知△ABC.請你確定一點(diǎn)P,使PB=PC,且點(diǎn)P到∠B的兩邊距離相等.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).
(1)在圖1中,DE交邊AB于M,DF交邊BC于N
①證明:DM=DN
②在這一旋轉(zhuǎn)過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積
(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

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