Question

如圖，直線y=x+1與雙曲線y=

2

x

交于A、B兩點，其中A點在第一象限．C為x軸正半軸上一點，且S_△ABC=3．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）在坐標平面內(nèi)，是否存在點P，使以A、B、C、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解兩函數(shù)組成的方程組即可得交點A、B的坐標；求直線與x軸交點坐標，再根據(jù)三角形的面積求OC的長就得C點坐標；
（2）以兩邊為鄰邊，另一邊為對角線畫平行四邊形是可行的，所以點P存在．

解答：解：（1）依題意得

y=x+1 y= 2 x

，
解得：

x1=-2 y1=-1

或

x2=1 y2=2

，
∴A（1，2），B（-2，-1）
設(shè)直線y=x+1與x軸相交于點D（m，0），
當y=0時，m+1=0，
∴m=-1，
∴D（-1，0），
設(shè)C（n，0），
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

×（1+n）×2+

1

2

×（1+n）×1=3，
∴n=1，
∴C（1，0）；

（2）當AB是對角線時，點P₁（-2，1）；
當BC是對角線時，點P₂（-2，-3）；
當AC是對角線試，點P₃（4，3）；
∴存在P（-2，1）或（-2，-3）或（4，3），使以A、B、C、P為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：此題利用了：
（1）求交點坐標即求它們組成的方程組的解；
（2）圖形的分割轉(zhuǎn)化思想；
（3）分類討論思想．