精英家教網(wǎng)已知,如圖,以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙0,D是BC上的點(diǎn),且有弧AC=弧CD,連CD、BD,在BD延長線上取一點(diǎn)E,使∠DCE=∠CBD.
(1)求證:CE是⊙0的切線;
(2)若CD=2
5
,DE和CE的長度的比為
1
2
,求⊙O半徑.
分析:(1)連接OC,AD,由弧AC=弧CD,得到OC⊥AD,∠ADC=∠DBC,而∠DCE=∠CBD,則∠DCE=∠ADC,從而得到CE∥AD,OC⊥CE
(2)先通過CE∥AD,得到∠E=90°,即四邊形CEDF是矩形.先在Rt△CED中,設(shè)DE=x,則CE=2x,求出DE=2,CE=4;再在Rt△OAF中,利用勾股定理即可求出圓的半徑.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OC,AD,
AC
=
CD
,
∴OC⊥AD,∠ADC=∠DBC,
而∠DCE=∠CBD,則∠DCE=∠ADC,
∴CE∥AD,
∴OC⊥CE,
∴CE是⊙O的切線;

(2)解:設(shè)AD交OC于點(diǎn)F,
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°,
由CE∥AD,
∴∠E=90°,
AC
=
CD

∴OC⊥AD,AF=DF,
在Rt△CED中,設(shè)DE=x,則CE=2x,而CD=2
5
,
根據(jù)勾股定理得:x2+(2x)2=(2
5
)2

解得:x=2,
∴DE=2,CE=4,
∵∠E=∠OCD=∠ADE=90°,
∴四邊形CEDF是矩形,
∴AF=DF=CE=4,CF=DE=2,
在Rt△OAF中,設(shè)OA=r,根據(jù)勾股定理得r2=42+(x-2)2
∴r=5.
答:所求的半徑為5.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的切線的判定方法.經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線.當(dāng)已知直線過圓上一點(diǎn),要證明它是圓的切線,則要連接圓心和這個(gè)點(diǎn),證明這個(gè)連線與已知直線垂直即可;當(dāng)沒告訴直線過圓上一點(diǎn),要證明它是圓的切線,則要過圓心作直線的垂線,證明垂線段等于圓的半徑.同時(shí)考查了垂徑定理、勾股定理和矩形的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形,若斜邊AB=5,則圖中陰影部分的面積為
 

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O,D是⊙O上的點(diǎn),且有AC=CD.過點(diǎn)C作⊙O的切線,與BD的延長線交于點(diǎn)E,連接CD.
(1)試判斷BE與CE是否互相垂直,請說明理由;
(2)若CD=2
5
,tan∠DCE=
1
2
,求⊙O的半徑長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作⊙O,交AB于D點(diǎn),OE∥AB交BC于E點(diǎn),求證:DE為⊙O的切線.

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