【題目】已知拋物線y=a(x-2)2-9經(jīng)過點(diǎn)P(6,7),與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線AP與y軸交于點(diǎn)D,拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)E任作一條直線l(點(diǎn)B、C分別位于直線l的異側(cè)),設(shè)點(diǎn)C到直線的距離為m,點(diǎn)B到直線l的距離為n,求m+n的最大值;
(3)y軸上是否存在點(diǎn)Q,使∠QPD=∠DEO,若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x2-4x-5;(2);(3)Q1(0,5),Q2(0,-11).
【解析】分析:(1)把P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a(x-2)2-9中求出a即可得到拋物線解析式;
(2)作BM⊥l于M,BN⊥l于N,BG⊥CM于G,如圖1,利用四邊形BGMN為矩形得到BN=MG,則m+n=CG,利用BG≤BC(當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在BC上取等號(hào))得到m+n的最大值為BC的長,然后求出B、C坐標(biāo)后計(jì)算出BC即可;
(3)先利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=x+1,則D(0,1),PD=6,△AOD為等腰直角三角形,易得E(2,0),則tan∠DEO=,討論:當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方,作QG⊥AP于G,如圖2,設(shè)QG=t,證明△QDG為等腰直角三角形得到DG=QG=t,QD=t,則利用∠QPD=∠DEO和正切定義得到,解方程求出t,從而可確定Q點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方,作QG⊥AP于G,如圖3,設(shè)QG=t,利用同樣方法得到,然后解方程求出t,從而得到Q點(diǎn)坐標(biāo).
詳解:(1)∵拋物線y=a(x-2)2-9經(jīng)過點(diǎn)P(6,7),
∴a(6-2)2-9=7,解得a=1,
∴拋物線解析式為y=(x-2)2-9,
即y=x2-4x-5;
(2)作BM⊥l于M,BN⊥l于N,BG⊥CM于G,如圖1,
易得四邊形BGMN為矩形,
∴BN=MG,
∴m+n=CM+BN=CM+MG=CG,
∵BG≤BC(當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在BC上取等號(hào))
∴m+n的最大值為BC的長,
當(dāng)x=0時(shí),y=x2-4x-5=-5,則C(0,-5),
當(dāng)y=0時(shí),x2-4x+5=0,解得x1=-1,x2=5,則A(-1,0),B(5,0)
∴BC=,
∴m+n的最大值為5;
(3)存在.
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,
把A(-1,0),P(6,7)代入得,
解得 ,
∴直線AD的解析式為y=x+1,
當(dāng)x=0,y=x+1=1,則D(0,1),
∴PD=,△AOD為等腰直角三角形,
∵拋物線的對稱軸為直線x=2,
∴E(2,0),
∴tan∠DEO=,
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方,作QG⊥AP于G,如圖2,
設(shè)QG=t,
∵∠QDG=∠ADO=45°,
∴△QDG為等腰直角三角形,
∴DG=QG=t,QD=QG=t,
∴PG=PD-DG=6-t,
∵∠QPD=∠DEO,
∴tan∠QPD=,
∴,解得t=2,
∴DQ=2×=4,
∴OQ=4+1=5,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5);
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方,作QG⊥AP于G,如圖3,
設(shè)QG=t,
∴△QDG為等腰直角三角形,
∴DG=QG=t,QD=QG=t,
∴PG=PD+DG=6+t,
∵∠QPD=∠DEO,
∴tan∠QPD=,
∴,解得t=6,
∴DQ=6×=12,
∴OQ=12-1=11
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-11),
綜上所述,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5)或(0,-11).
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的證明過程,指出其錯(cuò)誤.(在錯(cuò)誤部分下方劃線)已知△ABC,求證:∠A+∠B+∠C=180°
(1)證明:過A作DE∥BC,且使∠1=∠C
∵DE∥BC(作圖)
∴∠2=∠B(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)
∵∠1=∠C(作圖)
∴∠B+∠C+∠3=∠2+∠1+∠3(等量代換)
∠2+∠l+∠3=180°(周角的定義)
即∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)
(2)類比探究:請同學(xué)們參考圖2,模仿(1)的解決過程,避免(1)中的錯(cuò)誤,試說明求證:∠A+∠B+∠C=180°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△OAB中,∠ABO=90°,點(diǎn)A位于第一象限,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B在x軸正半軸上,若雙曲線y=(x>0)與△OAB的邊AO、AB分別交于點(diǎn)C、D,點(diǎn)C為AO的中點(diǎn),連接OD、CD.若S△OBD=3,則S△OCD為( 。
A.3B.4C.D.6
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0),y=(x>0)的圖象分別交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P為OQ的中點(diǎn),Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A是雙曲線y=(x>0)上一動(dòng)點(diǎn),頂點(diǎn)B,C在雙曲線y=(x>0)上,且兩直角邊均與坐標(biāo)軸平行.
(1)直接寫出k的值;
(2)△ABC的面積是否變化?若不變,求出△ABC的面積;若變化,請說明理由;
(3)直線y=2x是否存在點(diǎn)D,使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面內(nèi)直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+6分別于x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,點(diǎn)E為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)(不與O、B重合),CE的延長線與AB交于點(diǎn)D,過A、D、E三點(diǎn)的圓與y軸交于點(diǎn)F
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)求證:BE·EF=DE·AE
(3)若tan∠BAE=,求點(diǎn)F的坐標(biāo)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將下面的證明過程補(bǔ)充完整,括號(hào)內(nèi)寫上相應(yīng)理由或依據(jù):已知,如圖,,,垂足分別為D、F,,請?jiān)囌f明.
證明:∵,(已知)
∴(____________________________)
∴________(____________________________)
∴________(____________________________)
又∵(已知)
∴________(____________________________)
∴________(____________________________)
∴.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成2行、2列,兩邊各加一條豎直線記成,定義=ad-bc,上述記號(hào)就叫做2階行列式.若=-20,求x的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn),且O點(diǎn)在BC邊上,則圖中陰影部分面積S陰等于( )
A. B. C. 5- D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com