Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是AC的中點，作∠ADB的角平分線DE交AB于點E，

（1）求證：DE∥BC；

（2）若AE=3，AD=5，點P為線段BC上的一動點，當BP為何值時，△DEP為等腰三角形．請求出所有BP的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2），2，4﹣，4+．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=AD=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DE⊥AB，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行證明；

（2）利用勾股定理列式求出DE的長，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三種情況討論求解．

試題解析：（1）證明：∵∠ABC=90°，點D是AC的中點，∴BD=AD=AC，∵DE是∠ADB的角平分線，∴DE⊥AB，又∵∠ABC=90°，∴DE∥BC；

（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，∴DE= =4，∵DE⊥AB，AD=BD，∴BE=AE=3．

①DE=EP時，BP==；

②DP=EP時，BP=DE=×4=2；

③DE=DP時，過點D作DF⊥BC于F，則DF=BE=3，由勾股定理得，FP==，點P在F下邊時，BP=4﹣，點P在F上邊時，BP=4+．

綜上所述，BP的值為，2，4﹣，4+．