【題目】如圖,已知正方形ABCD邊長為1,點P是射線AD的上的一個動點,點A關(guān)于直線BP的對稱點是點Q,設(shè)AP=x.
(1)求當D,Q,B三點在同一直線上時對應(yīng)的x的值.
(2)當△CDQ為等腰三角形時,求x的值.
【答案】(1);(2), , .
【解析】分析: (1)求x,通常都是考慮勾股定理,選擇直角三角形PDE,發(fā)現(xiàn)PE,DE,PD都可用x來表示,進而易得方程,求解即可.
(2)若△CDQ為等腰三角形,則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊.又Q點為A點關(guān)于PB的對稱點,則AB=QB,以點B為圓心,以AB的長為半徑畫弧,則Q點只能在弧AB上.若CD為腰,以點C為圓心,以CD的長為半徑畫弧,兩弧交點即為使得△CDQ為等腰三角形(CD為腰)的Q點.若CD為底邊,則作CD的垂直平分線,其與弧AC的交點即為使得△CDQ為等腰三角形(CD為底)的Q點.則如圖所示共有三個Q點,那么也共有3個P點.作輔助線,利用直角三角形性質(zhì)求之即可.
詳解:
(1)連接DB,若Q點落在BD上,由AP=x,則PD=1﹣x,PQ=x.
∵∠PDQ=45°,
∴PD=PQ,
即1﹣x=x,
∴x=﹣1,
(2)①如圖1,連接BQ1、CQ1,作PQ1⊥BQ1交AD于P,過點Q1,作EF⊥AD于E,交BC于F.
∵△BCQ1為等邊三角形,正方形ABCD邊長為1,
∴Q1F=Q1E=.
在四邊形ABPQ1中,
∵∠ABQ1=30°,
∴∠APQ1=150°,
∴△PEQ1為含30°的直角三角形,
∴PE=Q1E=.
∵AE=,
∴x=AP=AE﹣PE=2﹣.
②如圖2,連接BQ2,AQ2,過點Q2作PG⊥BQ2,交AD于P,連接BP,過點Q2作EF⊥CD于E,交AB于F.∵EF垂直平分CD,∴EF垂直平分AB,∴AQ2=BQ2.∵AB=BQ2,∴△ABQ2為等邊三角形.在四邊形ABQP中,∵∠BAD=∠BQP=90°,∠ABQ2=60°,∴∠ABP=30°,
∴x=AP=.
③如圖4,連接BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,過點Q3作BQ3⊥PQ3,交AD的延長線于P,連接BP,過點Q1,作EF⊥AD于E,此時Q3在EF上,不妨記Q3與F重合.
∵△BCQ1為等邊三角形,△BCQ3為等邊三角形,BC=1,
∴Q1Q2=,Q1E=,
∴EF=.
在四邊形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°,
∴∠EPF=30°,
∴EP=EF=.
∵AE=,
∴x=AP=AE+PE=+2.
圖1 圖2
綜上所述:△CDQ為等腰三角形時x的值為2﹣, ,2+.
點睛:本題第一問非;A(chǔ),難度較低.第二問因為動點的原因,思路不易找到,這里就需要做題時充分分析已知條件,尤其是新給出的條件.其中求邊長是勾股定理的重要應(yīng)用,是很重要的考點.第三問是一個難度非常高的題目,可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿足要求的點Q找全.另外求解各個P點也是考察三角函數(shù)及勾股定理的綜合應(yīng)用,有著極高的難度.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=12cm,點C是線段AB上的一點,BC=2AC.動點P從點A出發(fā),以3cm/s的速度向右運動,到達點B后立即返回,以3cm/s的速度向左運動;動點Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度向右運動.設(shè)它們同時出發(fā),運動時間為ts.當點P與點Q第二次重合時,P、Q兩點停止運動.
(1)AC=__cm,BC=__cm;
(2)當t為何值時,AP=PQ;
(3)當t為何值時,PQ=1cm.
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【題目】閱讀下面材料并回答問題
觀察:有理數(shù)-2和-4在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離是,有理數(shù)1和-3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離是
歸納:有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點A.B之間的距離是,反之,表示有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點A.B之間的距離,稱之為絕對值的幾何意義
應(yīng)用:
(1)如果表示-1的點A和表示x點B之間的距離是2,那么x為________;
(2)方程的解為________;
(3)小松同學(xué)在解方程時,利用絕對值的幾何意義分析得到,該方程的左邊表示在數(shù)軸上x對應(yīng)點到1和-2對應(yīng)點的距離之和,而當時,取到它的最小值3,即為1和-2對應(yīng)的點的距離.由方程右邊的值為5可知,滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或-2的左邊,若x的對應(yīng)點在1的右邊,利用數(shù)軸分析可以看出;同理,若x的對應(yīng)點在-2的左邊,可得;故原方程的解是或;參考小松的解答過程,求方程的解.
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【題目】為了解食品安全狀況,質(zhì)監(jiān)部門抽查了甲、乙、丙、丁四個品牌飲料的質(zhì)量,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成圖1和圖2兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,完成下列問題:
(1)這次抽查了四個品牌的飲料共 瓶;
(2)請你在答題卡上補全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)若四個品牌飲料的平均合格率是95%,四個品牌飲料月銷售量約20萬瓶,請你估計這四個品牌的不合格飲料有多少瓶?
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【題目】如圖,點E在AD的延長線上,下列條件中能判斷AB∥CD的是( )
A.∠C=∠CDEB.∠ABD=∠CBDC.∠ABD=∠CDBD.∠C+∠ADC=180°
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【題目】為鼓勵居民節(jié)約用電,某市采用價格調(diào)控手段達到省電目的,該市電費收費標準如下表(按月結(jié)算):
每月用電量度 | 電價/(元/度) |
不超過150度的部分 | 0.50元/度 |
超過150度且不超過250度的部分 | 0.65元/度 |
超過250度的部分 | 0.80元/度 |
問:(1)某居民12月份用電量為180度,請問該居民12月應(yīng)繳交電費多少元?
(2)設(shè)某月的用電量為度(),試寫出不同電量區(qū)間應(yīng)繳交的電費.
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【題目】如圖,將口ABCD的邊DC延長到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于點F.
(1)求證:△ABF≌△ECF
(2)若∠AFC=2∠D,連接AC、BE.求證:四邊形ABEC是矩形.
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【題目】已知如圖1,拋物線y=﹣x2﹣x+3與x軸交于A和B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸相交于點C,點D的坐標是(0,﹣1),連接BC、AC
(1)求出直線AD的解析式;
(2)如圖2,若在直線AC上方的拋物線上有一點F,當△ADF的面積最大時,有一線段MN=(點M在點N的左側(cè))在直線BD上移動,首尾順次連接點A、M、N、F構(gòu)成四邊形AMNF,請求出四邊形AMNF的周長最小時點N的橫坐標;
(3)如圖3,將△DBC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α°<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△DBC為△DB′C′,若直線B′C′與直線AC交于點P,直線B′C′與直線DC交于點Q,當△CPQ是等腰三角形時,求CP的值.
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【題目】某校學(xué)生會干部對校學(xué)生會倡導(dǎo)的“助殘”自愿捐款活動進行抽樣調(diào)查,得到一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù),下圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖,圖中從左到右各長方形高度之比為3:4:5:8:2,又知此次調(diào)查中捐20元的人數(shù)為24人,
(1)他們一共抽查了多少人?捐款數(shù)不少于20元的概率是多少?
(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 (元)、中位數(shù)是 (元);
(3)若該校共有660名學(xué)生,請估算全校學(xué)生共捐款多少元?
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