【題目】已知矩形ABCD,點(diǎn)P為邊BC上一動點(diǎn),連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A恰好落在直線CD上點(diǎn)E處
(1) 如圖1,點(diǎn)E在線段CD上,求證:AD+DE=2AB
(2) 如圖2,點(diǎn)E在線段CD的延長線上,且點(diǎn)D 為線段CE的中點(diǎn),在線段BD上取點(diǎn)F,連接AF、PF,若AF=AB,求證:∠APF=∠ADB
(3) 如圖3,點(diǎn)E在線段CD上,連接BD.若AB=2,BD∥PE,則DE=___________ (直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)用同角的余角相等得出∠BAP=∠CPE,進(jìn)而判斷出△ABP≌△PCE,即可的得出AB=PC=CD,BP=CE,最后用相等的線段代換即可;
(2)先判斷出四邊形ABDE是平行四邊形則有BD∥AE,即可得到, 再判斷出,△APF≌△EPD,則有∠AFP=∠DEP,最后用三角形的外角和等角代換即可;
(3)先借助(1)的結(jié)論得出PC=AB=2, AD=4DE,再判斷出△CPE∽△CBD,則有最后代值解關(guān)于的方程即可.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴
∴
∵
∴
∴∠BAP=∠CPE,
在△ABP和△PCE中,
∴△ABP≌△PCE,
∴AB=PC=CD,BP=CE,
∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB;
(2)如圖,
∵AB=AF,
∴∠ABF=∠AFB,
∵AB∥DC,
∴∠ABF=∠BDC,
∴∠AFB=∠BDC,
∴∠AFD=∠EDF,
∵AB=CD=DE,AB∥CD,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∴BD∥AE,
∵
∴
∴
∵BD∥AE,
∴
∵∠AFD=∠EDF,
∴∠FAE=∠DEA,
∵∠PAE=∠PEA,
∴∠FAP=∠DEP,
在△APF和△EPD中,
∴△APF≌△EPD,
∴∠AFP=∠DEP,
∵∠AFD=∠EDF,
∴∠PFD=∠PDF,
在Rt△PCD中,PC=PD,
∴ ∴
∴
∵
∴
∴∠APF=∠ADB;
(3)由(1)知,△ABP≌△PCE,
∴PC=AB=2,由(1)知,AD+DE=2AB=4,
∴AD=4DE,
∵DB∥PE,
∴△CPE∽△CBD,
∴
∵CB=AD=4DE,CD=AB=2,CE=CDDE=2DE,
∴
∴ (由于點(diǎn)E在線段CD上,且CD=2,所以舍去)或
即:
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月23日是“世界讀書日”,學(xué)校開展“讓書香溢滿校園”讀書活動,以提升青少年的閱讀興趣,九年級(1)班數(shù)學(xué)活動小組對本年級600名學(xué)生每天閱讀時間進(jìn)行了統(tǒng)計,根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整統(tǒng)計圖(每組包括最小值不包括最大值).九年級(1)班每天閱讀時間在0.5小時以內(nèi)的學(xué)生占全班人數(shù)的8%.根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)九年級(1)班有 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全直方圖;
(3)除九年級(1)班外,九年級其他班級每天閱讀時間在1~1.5小時的學(xué)生有165人,請你補(bǔ)全扇形統(tǒng)計圖;
(4)求該年級每天閱讀時間不少于1小時的學(xué)生有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AE、DE分別平分∠BAD、∠ADC,E點(diǎn)在BC上.
(1)求證:BC=2AB;
(2)若AB=3cm,∠B=60°,一動點(diǎn)F以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿線段AD運(yùn)動,CF交DE于G,當(dāng)CF∥AE時:
①求點(diǎn)F的運(yùn)動時間t的值;②求線段AG的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小華是同班同學(xué),也是鄰居,某日早晨,小明7:40先出發(fā)去學(xué)校,走了一段后,在途中停下吃了早餐,后來發(fā)現(xiàn)上學(xué)時間快到了,就跑步到學(xué)校;小華離家后直接乘公交汽車到了學(xué)校.如圖是他們從家到學(xué)校已走的路程s(米)和所用時間t(分鐘)的關(guān)系圖.則下列說法中錯誤的是( )
A.小明吃早餐用時5分鐘
B.小華到學(xué)校的平均速度是240米/分
C.小明跑步的平均速度是100米/分
D.小華到學(xué)校的時間是7:55
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賓館有50個房間供游客住宿,當(dāng)每個房間的房價為每天180元時,房間會全部住滿,當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時,就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定,每個房間每天的房價不得高于340元.設(shè)每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)
(1) 設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式
(2) 設(shè)賓館一天的利潤為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式
(3) 一天訂住多少個房間時,賓館的利潤最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F.
求證:四邊形AFCE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分x,y的對應(yīng)值:
x | … | -1 | - | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||
y | … | 2 | -1 | - | -2 | - | -1 | 2 | … |
(1)此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ;
(2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=x+n的下方時,n的取值范圍是 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直接寫得數(shù).
1÷0.005= 7.8+3.02= 0.5×0.02= 75%-0.69= 0.023=
+0.025= ÷0.0625= = 1.2-×0= 102×41≈
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,與拋物線的一個交點(diǎn)為D,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,連接CE,已知點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別為(-2,0),(6,-8).
(1)求拋物線的解析式,并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F,使△FOE≌△FCE.若存在,請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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