Question

如圖△ABC中，AB的垂直平分線與∠ACB的外角平分線交于點D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．則下列結論：①△ADE≌△BDF；②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB．其中一定成立的個數(shù)是（　�。�

A．3個

B．2個

C．1個

D．0個

Answer 1

分析：根據(jù)條件可以得出△ADE≌△BDF，由全等三角形的性質就可以得出AE=BF，由△CDE≌△CDF就可以得出CE=CF，就可以得出AE=CE+CB，由四邊形的內角和可以得出∠ACB=∠FDE，再由等式的性質就可以得出∠ADB=∠EDF而得出結論．

解答：解：∵點D在AB的垂直平分線上，
∴DA=DB．
∵DC平分∠ACF，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．
∴∠AED=∠CED=∠CFD=90°，DE=DF．
在Rt△ADE和Rt△BDF中

AD=BD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），故①正確；
∴AF=BF，∠ADE=∠BDF．
在Rt△CDE和Rt△CDF中

CD=CD DE=DF

，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF．
∵BF=BC+CF，
∴AE=BC+CE故②正確；
∵∠EDF+∠CED+∠CFD+∠ECF=360°，
∴∠EDF+90°+90°+∠ECF=360°．
∴∠EDF+∠ECF=180°．
∵∠ACB+∠ECF=180°，
∴∠ACB=∠EDF．
∵∠ADE=∠BDF．
∴∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE．
即∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠ADB．故③正確．
∴正確的有3個．
故選A．

點評：本題考查了全等三角形的額判定與性質的運用，角平分線的性質的運用，線段的處置平分線的性質的運用．解答時證明三角形全等是關鍵．