【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)PPEy軸于點(diǎn)E.求PAE面積S的最大值;

(3)如圖2,拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形?若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4);(2)PAE面積S的最大值是;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2+,2﹣4).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),可以求得該拋物線的解析式,然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式,從而可以得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)根據(jù)題意和點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)可以得到直線AD的函數(shù)解析式,從而可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)圖形可以得到APE的面積,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到PAE面積S的最大值;

(3)根據(jù)題意可知存在點(diǎn)Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形,然后根據(jù)函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),

,得

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,4),

即該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4);

(2)設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為y=kx+m,

,得

∴直線AD的函數(shù)解析式為y=2x+6,

∵點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合),

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,2p+6),

SPAE=﹣(p+2+,

﹣3<p<﹣1,

∴當(dāng)p=﹣時(shí),SPAE取得最大值,此時(shí)SPAE,

PAE面積S的最大值是

(3)拋物線上存在一點(diǎn)Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形,

∵四邊形OAPQ為平行四邊形,點(diǎn)Q在拋物線上,

OA=PQ,

∵點(diǎn)A(﹣3,0),

OA=3,

PQ=3,

∵直線ADy=2x+6,點(diǎn)P在線段AD上,點(diǎn)Q在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,2p+6),點(diǎn)Q(q,﹣q2﹣2q+3),

解得,(舍去),

當(dāng)q=﹣2+時(shí),﹣q2﹣2q+3=2﹣4,

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2+,2﹣4).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),開(kāi)口方向都相同,則稱(chēng)這兩個(gè)二次函數(shù)為同簇二次函數(shù)。

1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為同簇二次函數(shù)的函數(shù);

2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2—4mx+2m2+1,和y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,1),若y1+y2y1同簇二次函數(shù),求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值。

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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)為常數(shù),)的圖像與軸、軸分別相交于點(diǎn),半徑為4的⊙軸正半軸相交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)上方.

1)若直線與弧有兩個(gè)交點(diǎn).

①求的度數(shù);

②用含的代數(shù)式表示,并直接寫(xiě)出的取值范圍;

2)設(shè),在線段上是否存在點(diǎn),使?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,拋物線y=﹣2x2+4xx軸交于點(diǎn)O、A,把拋物線在x軸及其上方的部分記為C1,將C1y鈾為對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)得到C2,C2x軸交于點(diǎn)B,若直線yx+mC1,C2共有3個(gè)不同的交點(diǎn),則m的取值范圍是(

A. 0<m< B. m

C. 0m D. mm

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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC、BD交于點(diǎn)O,AD=15,AO=12.動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng).同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā),沿DB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)列達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求線段DO的長(zhǎng);

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△POQ兩直角邊的和為y,請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P在線段OC上,點(diǎn)Q在線段DO上運(yùn)動(dòng)時(shí),△POQ面積的最大值,并寫(xiě)出此時(shí)的t值.

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【題目】如圖,在ABC中,ABACADBC邊的中線,過(guò)點(diǎn)ABC的平行線,過(guò)點(diǎn)BAD的平行線,兩線交于點(diǎn)E.

1)求證:四邊形ADBE是矩形;

2)連接DE,交AB于點(diǎn)O,若BC=8,AO=,求cosAED的值.

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【題目】如圖,RtABC中,∠C=90°,PCB邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,作PQAPABQ.已知AC=3cm,BC=6cm,設(shè)PC的長(zhǎng)度為xcm,BQ的長(zhǎng)度為ycm.

小青同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小青同學(xué)的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:

(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,分別得到了y的幾組對(duì)應(yīng)值;

x/cm

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3

3.5

4

4.5

5

6

y/cm

0

1.56

2.24

2.51

m

2.45

2.24

1.96

1.63

1.26

0.86

0

(說(shuō)明:補(bǔ)全表格時(shí),相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))

m的值約為多少cm;

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,描出以補(bǔ)全后的表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y),畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:

①當(dāng)y>2時(shí),寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍;

②若點(diǎn)P不與B,C兩點(diǎn)重合,是否存在點(diǎn)P,使得BQ=BP?

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【題目】已知:點(diǎn)A(0,4),B(0,﹣6),Cx軸正半軸上一點(diǎn),且滿足∠ACB=45°,則( 。

A. △ABC外接圓的圓心在OC

B. ∠BAC=60°

C. △ABC外接圓的半徑等于5

D. OC=12

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:在△ABC中,AB4BC5,CA6.

(1)如果DE10,那么當(dāng)EF________,FD________時(shí),△DEF∽△ABC;

(2)如果DE10,那么當(dāng)EF________FD________時(shí),△FDE∽△ABC.

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