Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．

（1）在AM上求作一點(diǎn)E，使△ADE∽△MAB（尺規(guī)作圖，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）過D 作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；見解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到AD∥BC，則∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，即可證明出△DAE∽△AMB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）過D 作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AMB，

又∵∠DEA＝∠B＝90°，

∴△DAE∽△AMB，

∴DE：AD＝AB：AM，

∵M是邊BC的中點(diǎn)，BC＝6，

∴BM＝3，

又∵AB＝4，∠B＝90°，

∴AM＝5，

∴DE：6＝4：5，

∴DE＝，

∴AE＝＝＝．