【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0),B(4,1)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖(1),連接AB,在題(1)中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖(2),連接AC,E為線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)(不與A、C重合)經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0),B(4,1)兩點(diǎn),
∴ ,
解得: ,
∴y= x2﹣ x+3;
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(0,3)
(2)
解:假設(shè)存在,分兩種情況:
①當(dāng)△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且∠PAB=90°,
如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M,設(shè)D為y軸上的點(diǎn),
∵A(3,0),B(4,1),
∴AM=BM=1,
∴∠BAM=45°,
∴∠DAO=45°,
∴AO=DO,
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,3),
∴直線(xiàn)AD解析式為:y=kx+b,將A,D分別代入得:
∴0=3k+b,b=3,
∴k=﹣1,
∴y=﹣x+3,
∴y= x2﹣ x+3=﹣x+3,
∴x2﹣3x=0,
解得:x=0或3,
∴y=3,y=0(不合題意舍去),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),
∴點(diǎn)P、C、D重合,
②當(dāng)△PAB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且∠PBA=90°,
如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F,
由(1)得,F(xiàn)B=4,∠FBA=45°,
∴∠DBF=45°,
∴DF=4,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,5),B點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,1),
∴直線(xiàn)BD解析式為:y=kx+b,將B,D分別代入得:
∴1=4k+b,b=5,
∴k=﹣1,
∴y=﹣x+5,
∴y= x2﹣ x+3=﹣x+5,
∴x2﹣3x﹣4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4(舍),
∴y=6,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,6),
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣1,6),(0,3);
(3)
解:如圖3:作EM⊥AO于M,
∵直線(xiàn)AC的解析式為:y=﹣x+3,
∴tan∠OAC=1,
∴∠OAC=45°,
∴∠OAC=∠OAF=45°,
∴AC⊥AF,
∵S△FEO= OE×OF,
OE最小時(shí)S△FEO最小,
∵OE⊥AC時(shí)OE最小,
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°,
∴MO=EM,
∵E在直線(xiàn)CA上,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x+3),
∴x=﹣x+3,
解得:x= ,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為( , ).
【解析】(1)根據(jù)A(3,0),B(4,1)兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;(2)從當(dāng)△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且∠PAB=90°與當(dāng)△PAB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且∠PBA=90°,分別求出符合要求的答案;(3)根據(jù)當(dāng)OE∥AB時(shí),△FEO面積最小,得出OM=ME,求出即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)l上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面積為( )
A. 16 B. 6 C. 55 D. 26
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【題目】如圖,在中,,BD為AC的中線(xiàn),過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線(xiàn),交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,在AF的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取FG=BD,連接 BG,DF.若AF=8,CF=6,則四邊形BDFG的周長(zhǎng)為_______________.
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【題目】“六一”兒童節(jié)前,某玩具商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,用2500元購(gòu)進(jìn)一批兒童玩具,上市后很快脫銷(xiāo),接著又用4500元購(gòu)進(jìn)第二批這種玩具,所購(gòu)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍,但每套進(jìn)價(jià)多了10元.
(1)求第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)如果這兩批玩具每套售價(jià)相同,且全部售完后總利潤(rùn)不低于25%,那么每套售價(jià)至少是多少元?
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【題目】某校組織學(xué)生到距離學(xué)校6千米的科技館去參觀,小華因事沒(méi)能乘上學(xué)校的包車(chē),于是準(zhǔn)備在學(xué)校門(mén)口改乘出租車(chē)去科技館,出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)有兩種類(lèi)型,如下表:
里程 | 甲類(lèi)收費(fèi)(元) | 乙類(lèi)收費(fèi)(元) |
3千米以下(包含3千米) | 7.00 | 6.00 |
3千米以上,每增加1千米 | 1.60 | 1.40 |
(1)設(shè)出租車(chē)行駛的里程為x千米(且x取正整數(shù)),分別寫(xiě)出兩種類(lèi)型的總收費(fèi)(用含x的代數(shù)式表示);
(2)小華身上僅有11元,他乘出租車(chē)到科技館車(chē)費(fèi)夠不夠請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E,若AD=3,BC=10,則CD的長(zhǎng)是________。
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【題目】“十·一”黃金周期間,武漢動(dòng)物園在7天假期中每天旅游的人數(shù)變化如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù))
日期 | 10月1日 | 10月2日 | 10月3日 | 10月4日 | 10月5日 | 10月6日 | 10月7日 |
人數(shù)變化單位:萬(wàn)人 | +1.6 | +0.8 | +0.4 | -0.4 | -0.8 | +0.2 | -1.2 |
(1)若9月30日的游客人數(shù)記為,請(qǐng)用的代數(shù)式表示10月2日的游客人數(shù)?
(2)請(qǐng)判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天?請(qǐng)說(shuō)明理由。
(3)若9月30日的游客人數(shù)為2萬(wàn)人,門(mén)票每人10元。問(wèn)黃金周期間武漢動(dòng)物園門(mén)票收入是多少元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),等邊三角形AOC經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是___個(gè)單位長(zhǎng)度;△AOC與△BOD關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則對(duì)稱(chēng)軸是___;△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DOB,則旋轉(zhuǎn)角度可以是___度;
(2)連結(jié)AD,交OC于點(diǎn)E,求∠AEO的度數(shù)。
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【題目】為體現(xiàn)社會(huì)對(duì)教師的尊重,教師節(jié)這天上午,出租車(chē)司機(jī)小王在東西走向的公路上免費(fèi)接送老師.如果規(guī)定向東為正,向西為負(fù),出租車(chē)的行程如下.(單位:千米)+15,﹣4,+13,﹣10,﹣12,+3,﹣13,﹣17
(1)當(dāng)最后一名老師到達(dá)目的地時(shí),小王距離開(kāi)始接送第一位老師之前的地點(diǎn)的距離是多少?
(2)若出租車(chē)的耗油量為0.4升/千米,這天上午出租車(chē)共耗油多少升?
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