如圖,矩形紙片ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,E為BC上一點,將紙片沿AE翻折,使點E與CD邊上的點F重合.
(1)求線段EF的長;
(2)若線段AF上有動點P(不與A、F重合),如圖(2),點P自點A沿AF方向向點F運動,過點P作PM∥EF,PM交AE于M,連接MF,設(shè)AP=x(cm),△PMF的面積為y(cm)2,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在題(2)的條件下,△FME能否是等腰三角形?若能,求出AP的值,若不能,請說明理由.精英家教網(wǎng)
分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=AF=10cm,可在Rt△ADF中根據(jù)勾股定理求出DF的長,進而可求出CF的值;在Rt△CEF中,根據(jù)折疊的性質(zhì)知BE=EF,可用EF表示出CE,進而由勾股定理求出EF的長;
(2)由于PM∥EF,而∠AFE=∠ABE=90°,因此PM⊥AF;在(1)中已經(jīng)求得AF、EF的長,易證得△APM∽△AFE,根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得PM的表達式;知道了Rt△PMF兩條直角邊的長,即可求出其面積,由此可得到關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在Rt△PMF中,根據(jù)PM、MF的表達式,即可由勾股定理求得MF的表達式;若△FME是等腰三角形,則可能有三種情況:①MF=ME,②MF=EF,③ME=EF;可根據(jù)上述三種情況所得不同等量關(guān)系求出x的值.
解答:解:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知:∠ABE=∠AFE=90°,AB=AF=10cm,EF=BE;
Rt△ADF中,AF=10cm,AD=8cm;由勾股定理得:DF=6cm;
∴CF=CD-DF=10-6=4cm;
在Rt△CEF中,CE=BC-BE=BC-EF=8-EF,由勾股定理得:
EF2=CF2+CE2,即EF2=42+(8-EF)2,解得EF=5cm;

(2)∵PM∥EF,
∴PM⊥AF,△APM∽△AFE;
PM
EF
=
AP
AF
,即
PM
5
=
x
10
,PM=
x
2
;
在Rt△PMF中,PM=
x
2
,PF=10-x;
則S△PMF=
1
2
(10-x)•
x
2
=-
1
4
x2+
5
2
x;(0<x<10)

(3)在Rt△PMF中,由勾股定理,得:
MF=
PM2+FP2
=
5
4
x2-20x+100
;
同理可求得AE=
AB2+BE2
=5
5
,AM=
AP2+PM2
=
5
2
x;
∴ME=5
5
-
5
2
x;
若△FME能否是等腰三角形,則有:
①MF=ME,則MF2=ME2,即:
5
4
x2-20x+100=(5
5
-
5
2
x)2,解得x=5;
②MF=EF,則MF2=EF2,即:
5
4
x2-20x+100=25,化簡得:x2-16x+60=0,解得x=6,x=10(舍去);
③ME=EF,則有:
5
5
-
5
2
x=5,解得x=10-2
5
;
綜上可知:當AP的長為5cm或6cm或(10-2
5
)cm時,△FME是等腰三角形.
點評:此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知識點,在等腰三角形的腰和底不明確的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
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(1)在△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,△A1CD1是旋轉(zhuǎn)后的新位置(圖A),求此AA1的距離;
(2)將△ACD沿對角線AC向下翻折(點A、點C位置不動,△ACD和△ABC落在同一平面內(nèi)),△ACD2是翻折后的新位置(圖B),求此時BD2的距離;
(3)將△ACD沿CB向左平移,設(shè)平移的距離為x(0≤x≤4
3
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