Question

如圖，AM是⊙O的直徑，過(guò)⊙O上一點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，其延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，弦CD交AM于點(diǎn)E．
（1）如果CD⊥AB，求證：EN=NM；
（2）如果弦CD交AB于點(diǎn)F，且CD=AB，求證：CE²=EF•ED；
（3）如果弦CD、AB的延長(zhǎng)經(jīng)線交于點(diǎn)F，且CD=AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求證EN=NM，只要證明△NEC≌△NMB即可；
（2）求證CE²=EF•ED，只需證△FEB∽△BED根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；
（3）成立．求證CE²=EF•ED，只需證△BDE∽△FBE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖1，連接BM，
∵AM是⊙O的直徑，
∴∠ABM=90°．
∵CD⊥AB，
∴BM∥DC．
∴∠NBM=∠NCE．
∵BN=NC（ON是弦心距），
∴△NEC≌△NMB（ASA）．
∴EN=NM．

（2）證明：如圖2，連接AC，BE，BD．
∵CD=AB，
∴

ADB

=

DBC

．
∴

AD

=

BC

．
∴∠ACD=∠BDC．
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠BDC=∠ABE，∠BEF=∠BEF．
∴△FEB∽△BED．
∴EF•DE=BE²=CE²．

（3）如圖3，（2）的結(jié)論仍成立．
證明：∵AM⊥BC，
∴BE=CE，AB=AC．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AB=CD，
∴∠4=∠DBC．
∴∠3=∠DBC=∠2+∠5．
又∵∠3=∠F+∠1，
∴∠F=∠5．
∵∠BED=∠FEB，
∴△BDE∽△FBE．
∴BE：EF=ED：BE，
∴BE²=EF•ED．
∴CE²=EF•ED．

點(diǎn)評(píng)：考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定，垂徑定理的運(yùn)用．