Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BOC＝，∠AOC＝100°，將△BOC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDA，連接OD.

(1) 求證：△BOD是等邊三角形.

(2) 當(dāng)＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由.

(3) 若△AOD是等腰三角形，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)α=150°時(shí)，△AOD是直角三角形；理由見解析；(3)130°或100°或160°

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OB=BD，∠OBD=60°,根據(jù)等邊三角形的判定即可求證；

（2）由（1）的結(jié)論可得∠BDO=60°；由于α=150°,所以∠ADB=∠BOC=150°，繼而可得∠ADO=∠ADB-∠ODB=90°，由∠AOC=100°，∠BOD=60°，可求出∠AOD=360°-∠α-∠AOC-∠COD=360°-150°-100°-60°=50°，根據(jù)三角形的內(nèi)角即可判定三角形的形狀;

（3）分AO=AD、AO=OD、DO=AD三種情況，根據(jù)等腰三角形的概念，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算.

(1)證明：∵將△BOC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△BDA，

∴BO=BD，∠OBD=60°，

∴△BOD是等邊三角形．

(2)解：當(dāng)α=150°時(shí)，△AOD是直角三角形．理由是：

∵將△BOC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△BDA，

∴△BOC≌△BDA，

∴∠ADB=∠BOC=150°，

又∵△BOD是等邊三角形，

∴∠ODB=60°，

∴∠ADO=∠ADB-∠ODB=90°，

∵∠α=150°,∠AOC=100°，∠BOD=60°，

∴∠AOD=360°-∠α-∠AOC-∠COD=360°-150°-100°-60°=50°，

∴△AOD不是等腰直角三角形，

即△AOD是直角三角形．

(3) ∵△BOD是等邊三角形，

∴∠ADO=α-60°，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=α-60°，

∴∠AOD=180°-2（α-60°），解得α=100°；

當(dāng)OD=AD時(shí)，α+100°+60°+∠AOD=360°，

∠AOD= ，解得α=160°；

當(dāng)OA=AD時(shí)，α+100°+60°+∠AOD=360°，∠AOD=α-60°，解得，α=130°

綜合可得:130°或100°或160°