Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)B在x軸的正半軸上.若點(diǎn)P、Q在線段AB上，且PQ為某個(gè)一邊與x軸平行的矩形的對(duì)角線，則稱這個(gè)矩形為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”。下圖為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的示意圖.

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為 .

②若點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4），則點(diǎn)E（2，1），F（1，2），G（4，0）中，能夠成為點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的頂點(diǎn)的是 .

（2）四邊形PMQN是點(diǎn)P、Q的“涵矩形”，點(diǎn)M在△AOB的內(nèi)部，且它是正方形；

①當(dāng)正方形PMQN的周長(zhǎng)為8，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

②當(dāng)正方形PMQN的對(duì)角線長(zhǎng)度為/2時(shí)，連結(jié)OM.直接寫出線段OM的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）①9，②（1，2）；（2）①（1，5）或（5，1），②

【解析】

（1）①根據(jù)題意求出PE，EQ即可解決問(wèn)題．
②求出點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的長(zhǎng)與寬即可判斷．
（2）①求出正方形的邊長(zhǎng)，分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．
②點(diǎn)M在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y=-x+5交x軸于F，交y軸于E，作OD⊥EF于D．求出OM的最大值，最小值即可判斷．

解：（1）①如圖1中，

由題意：矩形PEQF中，EQ=PF=3- ，
∴OE=EQ，

∵EP∥OA，
∴AP=PQ，
∴PE=QF=OA=3，
∴點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)=（3+）×2=9．
②如圖2中，

∵點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的周長(zhǎng)為6，
∴鄰邊之和為3，
∵矩形的長(zhǎng)是寬的兩倍，
∴點(diǎn)P、Q的“涵矩形”的長(zhǎng)為2，寬為1，
∵P（1，4），F（1，2），
∴PF=2，滿足條件，
∴F（1，2）是矩形的頂點(diǎn)．

（2）①如圖3中，

∵點(diǎn)P、Q的“涵矩形”是正方形，
∴∠ABO=45°，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+6，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3），
∵正方形PMQN的周長(zhǎng)為8，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3-2=1或3+2=5，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5）或（5，1）．

②如圖4中，

∵正方形PMQN的對(duì)角線為，
∴PM=MQ=1，
易知M在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y=-x+5交x軸于F，交y軸于E，作OD⊥EF于D，
∵OE=OF=5，
∴EF= ，
∵OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴OD=EF= ，
∴OM的最大值為5，最小值為，
∴．