Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y = x2 + bx + c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l ，0） ，B（﹣3 ，0） ，與y軸交于點(diǎn)C ，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D ，對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E ，連接BD ．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式 ．

（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上，當(dāng)PE = PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo) ．

（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F ，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn) ，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn) ，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F ，N ，G ，M 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo) ．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）（﹣2，﹣2）（3）（ ，0），（，0）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法得出直線(xiàn)BD的解析式，利用PC=PE建立方程即可求出a即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)G，N的坐標(biāo)，利用FM=MG建立方程求解即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），∴，∴，∴拋物線(xiàn)的解析式為；

（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為，∴C（0，﹣3），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D（﹣1，﹣4），∴E（﹣1，0），設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=mx+n，∴，∴，∴直線(xiàn)BD的解析式為y=﹣2x﹣6，設(shè)點(diǎn)P（a，﹣2a﹣6），∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），根據(jù)勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∵PC=PE，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P（﹣2，﹣2）；

（3）如圖，作PF⊥x軸于F，∴F（﹣2，0），設(shè)D（d，0），∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），∵以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FM=MG，∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，∴d=或d=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．