【題目】平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-3,0),(0,3),對(duì)稱軸直線x=-1交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)D為頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)K是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn),且SKAC=SDAC求點(diǎn)K的坐標(biāo);

(3)如圖2若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DPM=30°,DPDM,則點(diǎn)P的線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),D點(diǎn)不變,M點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng),求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(,)或();(3)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)條件可得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,只需解這個(gè)方程組就可解決問題;

(2)過(guò)點(diǎn)D作DHy軸于H,連接EK交y軸于F,連接EC,如圖1,運(yùn)用割補(bǔ)法可求出DAC的面積,易得SADC=SAEC,由SKAC=SDAC,可得SKAC=SEAC,從而可得EKAC,根據(jù)平行線分線段成比例可求出OF,然后運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線EK的解析式,只需求出直線EK與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)就可解決問題;

(3)設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M′,點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M″,如圖2.易證DPC∽△DMM″,DAC∽△DM′M″,從而可得DM″M=DM″M′=DCP,由于DCP是定值,因此點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是線段M′M″,然后只需根據(jù)DM′M″∽△DAC,運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題.

試題解析:(1)由題意可得,

解得,

拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;

(2)過(guò)點(diǎn)D作DHy軸于H,連接EK交y軸于F,連接EC,如圖1.

由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可得頂點(diǎn)D為(-1,4),

SADC=S梯形AOHD-SOAC-SDHC

=(1+3)×4-×3×3-×1×(4-3)=3.

SAEC=AEOC=×2×3=3,

SADC=SAEC

SKAC=SDAC,

SKAC=SEAC

EKAC,

,

OF=1,F(xiàn)(0,1).

設(shè)直線EK的解析式為y=mx+n,則有

解得,

直線EK的解析式為y=x+1.

解方程組,得,

點(diǎn)K的坐標(biāo)為(,)或();

(3)設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M′,點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M″,如圖2.

∵∠CDM″=PDM=90°,DPM=DCM″=30°,

,PDC=MDM″,

∴△DPC∽△DMM″,

∴∠DCP=DM″M.

同理可得DAC∽△DM′M″,

∴∠DCA=DM″M′.

∴∠DM″M=DM″M′=DCP,

∵∠DCP是定值,

點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是線段M′M″.

∵△DM′M″∽△DAC,

AC=,

M′M″=,

點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

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(1)求拋物線的解析式;

(2)判斷直線lE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3) 動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上,當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離.

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