Question

在平面內，旋轉變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度得到新位置圖形的一種變換．
活動一：如圖l，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點，AD =2，BD =1，且四邊形DECF是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉的方法，將△DBF繞點D逆時針旋轉90°，得到△DGE(如圖2所示)，小明一眼就看出答案，請你寫出陰影部分的面積：________．
活動二：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC =5，CD =3，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，小明仍運用圖形旋轉的方法，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADC(如圖4所示)，則：
(1)四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：___________；
(2)AE的長是______________．
活動三：如圖5，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC繞點B逆時針 旋轉90°得到線段BE，連結AE.若AB =2，DC =4，求△ABE的面積．

Answer 1

1     正方形       2

活動一：1；………2分 活動二：正方形，4；……6分  活動三：2……10分
（1）根據旋轉的性質可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=×AD×DG；
（2）根據旋轉的性質可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進而得出AE的長；
（3）過點B作于點G，過點E作EF與AB的延長線交于點F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值。
解：活動一：
∵四邊形DECF是正方形，      ∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=x      ∵AC²+BC²=AB²， ∴9x²+（x）²=9，
解得：x=，∴DE=DF=，AE=，BF=,
∴S_△ADE+S_△BDF=1，        ∴S_陰影=1；
故答案為：1；
活動二：根據題意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC     ∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，    ∴四邊形AECG是矩形，
∵AE=AG，    ∴四邊形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，    ∴設AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，      解得：x=4，     ∴AE=4．
故答案為：正方形，4；
活動三：過點B作于點G，過點E作EF與AB的延長線交于點F.
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，     
∴四邊形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，                                              
∴CG=DC-DG=4-2=2．                                
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，     
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，      ∴CG=EF=2．      ∴S_△ABE=AB×EF=2.