【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E,頂點M的坐標為(2,4);矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式;

(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動,設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).

①當t=時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;

②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)不在;最大值為

【解析】

試題分析:(1)已知頂點坐標,又拋物線經(jīng)過原點,用待定系數(shù)可求出拋物線解析式;

(2)①根據(jù)拋物線的對稱性求出E點坐標,再求出直線ME的解析式,把t知代入驗證點P是否在直線ME上;

②最后一問設出P,N坐標,根據(jù)幾何關(guān)系求出PN,然后分兩種情況討論:(1)PN=0;(2)PN≠0;把求多邊形面積S轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.

試題解析:(1)因所求拋物線的頂點M的坐標為(2,4),故可設其關(guān)系式為又∵拋物線經(jīng)過O(0,0),∴得,解得a=﹣1,∴所求函數(shù)關(guān)系式為,即

(2)①點P不在直線ME上.根據(jù)拋物線的對稱性可知E點的坐標為(4,0),又M的坐標為(2,4),設直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.于是得,解得,所以直線ME的關(guān)系式為y=﹣2x+8.

由已知條件易得,當t=時,OA=AP=,∴P(

∵P點的坐標不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=﹣2x+8,當t=時,點P不在直線ME上.

②S存在最大值.理由如下:

∵點A在x軸的非負半軸上,且N在拋物線上,∴OA=AP=t,點P,N的坐標分別為(t,t)、(t,,∴AN=(0≤t≤3),∴AN﹣AP=()﹣t==t(3﹣t)≥0,∴PN=(ⅰ)當PN=0,即t=0或t=3時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是三角形,此三角形的高為AD,∴S=DCAD=×3×2=3.

(ⅱ)當PN≠0時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是四邊形

∵PN∥CD,AD⊥CD,∴S=(CD+PN)AD= ==,其中(0<t<3),由a=﹣1,0<<3,此時S最大=

綜上所述,當t=時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形面積有最大值,這個最大值為

說明:(ⅱ)中的關(guān)系式,當t=0和t=3時也適合.

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