【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E,頂點M的坐標為(2,4);矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動,設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).
①當t=時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)①不在;②最大值為.
【解析】
試題分析:(1)已知頂點坐標,又拋物線經(jīng)過原點,用待定系數(shù)可求出拋物線解析式;
(2)①根據(jù)拋物線的對稱性求出E點坐標,再求出直線ME的解析式,把t知代入驗證點P是否在直線ME上;
②最后一問設出P,N坐標,根據(jù)幾何關(guān)系求出PN,然后分兩種情況討論:(1)PN=0;(2)PN≠0;把求多邊形面積S轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.
試題解析:(1)因所求拋物線的頂點M的坐標為(2,4),故可設其關(guān)系式為,又∵拋物線經(jīng)過O(0,0),∴得,解得a=﹣1,∴所求函數(shù)關(guān)系式為,即.
(2)①點P不在直線ME上.根據(jù)拋物線的對稱性可知E點的坐標為(4,0),又M的坐標為(2,4),設直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.于是得:,解得:,所以直線ME的關(guān)系式為y=﹣2x+8.
由已知條件易得,當t=時,OA=AP=,∴P(,).
∵P點的坐標不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=﹣2x+8,∴當t=時,點P不在直線ME上.
②S存在最大值.理由如下:
∵點A在x軸的非負半軸上,且N在拋物線上,∴OA=AP=t,∴點P,N的坐標分別為(t,t)、(t,),∴AN=(0≤t≤3),∴AN﹣AP=()﹣t==t(3﹣t)≥0,∴PN=.(ⅰ)當PN=0,即t=0或t=3時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是三角形,此三角形的高為AD,∴S=DCAD=×3×2=3.
(ⅱ)當PN≠0時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是四邊形.
∵PN∥CD,AD⊥CD,∴S=(CD+PN)AD= ==,其中(0<t<3),由a=﹣1,0<<3,此時S最大=.
綜上所述,當t=時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形面積有最大值,這個最大值為.
說明:(ⅱ)中的關(guān)系式,當t=0和t=3時也適合.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分別是AB、AD、CB上的點,AM=CE=1,AN=3,點P從點M出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿折線MB﹣BE向點E運動,同時點Q從點N出發(fā),以相同的速度沿折線ND﹣DC﹣CE向點E運動,當其中一個點到達后,另一個點也停止運動.設△APQ的面積為S,運動時間為t秒,則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點,∠AOC=60°,則當△PAB為直角三角形時,AP的長為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點E是∠AOB的平分線上一點,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C、D.
求證:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD
(3)OE是線段CD的垂直平分線.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列不是具有相反意義的量是( )
A.前進5米和后退5米
B.節(jié)約3噸和消費10噸
C.身高增加2厘米和體重減少2千克
D.超過5克和不足2克
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若一次函數(shù)y=kx+1(k為常數(shù),k≠0)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,則k的取值范圍是_________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市2009年元旦的最高氣溫為2℃,最低氣溫為-8℃,那么這天的最高氣溫比最低氣溫高( )
A.-10℃
B.-6℃
C.6℃
D.10℃
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