Question

（2012•高淳縣一模）如圖，將邊長為a的正方形OABC繞頂點O按順時針方向旋轉角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA₁B₁C₁．設邊B₁C₁與OC的延長線交于點M，邊B₁A₁與OB交于點N，邊B₁A₁與OA的延長線交于點E，連接MN．
（1）求證：△OC₁M≌△OA₁E；
（2）試說明：△OMN的邊MN上的高為定值；
（3）△MNB₁的周長p是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，試說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求出p的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠A₁OE=∠C₁OM，然后利用“角邊角”證明兩三角形全等；
（2）根據(jù)（1）中全等三角形對應邊相等可得OE=OM，再利用“邊角邊”證明△EON和△MON全等，根據(jù)全等三角形對應邊上的高相等可得：△OMN的邊MN上的高等于OA₁的長度，是定值；
（3）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MN=EN，A₁E=C₁M，然后推出△MNB₁的周長p等于A₁B₁+B₁C₁，再根據(jù)旋轉變換不改變圖形的形狀與大小，所以p=2a．

解答：（1）證明：∵正方形OABC，
∴∠A₁OE+∠A₁OM=∠C₁OM+∠A₁OM=90°，
∴∠A₁OE=∠C₁OM，
在△OC₁M和△OA₁E中，

∠OA1E=∠C1 OA1=OC1 ∠A1OE=∠C1OM

，
∴△OC₁M≌△OA₁E（ASA）；

（2）解：∵△OC₁M≌△OA₁E（已證），
∴OE=OM，
在△EON和△MON中，

OE=OM ∠EON=∠MON=45° ON=ON

，
∴△EON≌△MON（SAS），
∴EN=MN，
∴△OMN的邊MN上的高等于△OEN邊EN上的高，即OA₁的長a，為定值；

（3）p不會發(fā)生變化，是定值2a．
理由如下：根據(jù)（1）（2），△OC₁M≌△OA₁E，△EON≌△MON，
∴MN=EN，A₁E=C₁M，
∴△MNB₁的周長p=MN+NB₁+MB₁，
=EN+NB₁+MB₁，
=EB₁+MB₁，
=A₁E+A₁B₁+MB₁，
=C₁M+A₁B₁+MB₁，
=A₁B₁+B₁C₁，
∵正方形OABC的邊長為a，
∴A₁B₁=B₁C₁=a，
∴p=2a，是定值．

點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，是綜合題，難度較大，把所求的值利用全等三角形轉化為正方形的邊長，從而得到定值是解題的關鍵．