在Rt△ABC,∠C=90°,D為AB邊上一點,點M、N分別在BC、AC邊上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于點F,NE⊥AB于點E.

(1)特殊驗證:如圖1,若AC=BC,且D為AB中點,求證:DM=DN,AE=DF;

(2)拓展探究:若AC≠BC.

①如圖2,若D為AB中點,(1)中的兩個結(jié)論有一個仍成立,請指出并加以證明;

②如圖3,若BD=kAD,條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”,其它條件不變,請?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

考點:

相似形綜合題.

分析:

(1)如答圖1,連接CD,證明△AND≌△CDM,可得DM=DN;證明△NED≌△DFM,可得DF=NE,從而得到AE=NE=DF;

(2)①若D為AB中點,則分別證明△DEN∽△MFD,△AEN∽△MFB,由線段比例關(guān)系可以證明AE=DF結(jié)論依然成立.證法二提供另外一種證明方法,可以參考;

②若BD=kAD,證明思路與①類似;證法二提供另外一種證明方法,可以參考.

解答:

(1)證明:若AC=BC,則△ABC為等腰直角三角形,

如答圖1所示,連接OD,則CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2.

在△AND與△CDM中,

∴△AND≌△CDM(ASA),

∴DM=DN.

∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3,

∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5,

在△NED與△DFM中,

∴△NED≌△DFM(ASA),

∴NE=DF.

∵△ANE為等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF.

(2)①答:AE=DF.

證法一:由(1)證明可知:△DEN∽△MFD,

,即MF•EN=DE•DF.

同理△AEN∽△MFB,

,即MF•EN=AE•BF.

∴DE•DF=AE•BF,

∴(AD﹣AE)•DF=AE•(BD﹣DF),

∴AD•DF=AE•BD,∴AE=DF.

證法二:如答圖2所示,過點D作DP⊥BC于點P,DQ⊥AC于點Q.

∵D為AB中點,

∴DQ=PC=PB.

易證△DMF∽△NDE,∴,

易證△DMP∽△DNQ,∴,

;

易證△AEN∽△DPB,∴,

,∴AE=DF.

②答:DF=kAE.

證法一:由①同理可得:DE•DF=AE•BF,

∴(AE﹣AD)•DF=AE•(DF﹣BD)

∴AD•DF=AE•BD

∵BD=kAD

∴DF=kAE.

證法二:如答圖3,過點D作DP⊥BC于點P,DQ⊥AC于點Q.

易證△AQD∽△DPB,得,即PB=kDQ.

由①同理可得:,

;

又∵

,

∴DF=kAE.

點評:

本題是幾何探究與證明綜合題,考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì).題中三個結(jié)論之間逐級遞進(jìn),體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

 

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