Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系的單位是厘米，直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BA以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，以C點(diǎn)為圓心作半徑為1cm的⊙C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)⊙C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)⊙C和坐標(biāo)軸相切時(shí)，求時(shí)間t的值．
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，另有動(dòng)點(diǎn)P以2cm/秒的速度在線(xiàn)段OA上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l垂直于x軸．若點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)分別從點(diǎn)B、點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求直線(xiàn)l與⊙C所有相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點(diǎn)，即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分別從當(dāng)⊙C與y軸相切時(shí)，當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸下方時(shí)與當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸上方時(shí)去分析，利用切線(xiàn)的性質(zhì)由相似三角形的性質(zhì)，即可求得答案；
（3）分別從第一、二、三、四次相切時(shí)去分析求解，又由t≤

6+1

1.5

，即t≤

14

3

，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點(diǎn)．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-6

3

，當(dāng)y=0時(shí)，x=6，
∴A（6，0），B（0，-6

3

）；（2分）

（2）∵A（6，0），B（0，-6

3

）；
∴OA=6，OB=6

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=12，
當(dāng)⊙C與y軸相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，
則CD⊥y軸，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BAO，
∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，
∴BC=2，
∵動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BA以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=

2

3

；（4分）
當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸下方時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，則CE⊥x軸，
∴CE∥OB，
∴△AEC∽△AOB，
∴EC：OB=AC：AB，
即1：6

3

=AC：12，
解得：AC=

2

3

3

，
∴BC=AC-EC=12-

2

3

3

，
∴t=4-

2

9

3

；
當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸上方時(shí)，BC=12+

2

3

3

，
∴t=4+

2

9

3

；（8分）
綜上t=

2

3

或t=4-

2

9

3

或t=4+

2

9

3

；

（3）∵在Rt△AOB中，tan∠OBA=

OA

OB

=

3

3

，
∴∠OBA=30°，
∵動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BA以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，
∴⊙C沿x軸正方向的速度為每秒1.5cm，
①第一次相切時(shí)，2t-1.5t=1，得：t=2，P₁（4，0）；（9分）
②第二次相切  2t+1.5t+1=12，得t=

22

7

，P₂（

40

7

，0）；（10分）
③第三次相切  2t+1.5t-1=12，得t=

26

7

，P₃（

32

7

，0）；（11分）
④第四次相切  2t-12+1=1.5t，得t=22，
∵t≤

6+1

1.5

，即t≤

14

3

，
∴t=22＞

14

3

（不符合題意舍去）；（12分）
綜上：p₁（4，0）或P₂（

40

7

，0）或P₃（

32

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系以及一次函數(shù)的性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握方程思想、分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．