Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CD⊥AB，垂足為D．

（1）求證：∠PCA＝∠ABC；

（2）過點(diǎn)A作AE∥PC交⊙O于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，若∠CAB＝2∠B，CF＝，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖，連接OC，利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角可得∠PCA=∠OCB，利用等量代換可得∠PCA=∠ABC.

（2）先求出△OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對(duì)等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出、 、 的值，利用，然后通過計(jì)算即可解答.

解：（1）證明：連接OC，如圖，

∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PC,

∴∠PCA+∠ACO=90,

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90

∴∠PCA=∠OCB,

∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,

∴∠PCA=∠ABC；

（2）連接OE，如圖，

∵△ACB中，∠ACB＝90,∠CAB＝2∠B,

∴∠B＝30,∠CAB＝60,∴△OCA是等邊三角形，

∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90,

∴∠ACD＝∠B＝30,

∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30,∴FC=FA,

同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=,

Rt△ACM中，易得AC=×=3＝OC,

∵∠B＝∠CAE＝30,∴∠AOC=∠COE=60,

∴∠EOB=60,∴∠EAB=∠ABC=30,∴MA=MB,

連接OM,EG⊥AB交AB于G點(diǎn)，如圖所示，

∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝OA×tan30= ,

∵△CDO≌△EDO(AAS)，

∴EG=CD=AC×sin60=，

∴,

同樣，易求，

∴=.