Question

如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0）

（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A　   　，k=　   　；
（2）隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=時(shí)：
①請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；
②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（t，4）。
∵直線OA：y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0），∴4=kt，則（k＞0）。
（2）①當(dāng)a=時(shí)，，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為。
對(duì)于，當(dāng)x=時(shí)，
∴點(diǎn)在拋物線上。
∴當(dāng)a=時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上。
②如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K，

∵AC⊥x軸，∴AC∥EK。
∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，∴K為BC的中點(diǎn)。
∴EK是△ACB的中位線。
∴EK=AC=2，CK=BC=2�！郋（t+2，2）。
∵點(diǎn)E在拋物線上，
∴，解得t=2。
∴當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，t=2。
（3）如圖2，由得，

解得，或x=0（不合題意，舍去）。
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是。
當(dāng)時(shí)，|y₂﹣y₁|=0，由題意得，即。
又，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值。
又當(dāng)時(shí)，取得最小值0，
∴當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而增大。
由題意，得，將代入得，解得。
綜上所述，a與t的關(guān)系式為，t的取值范圍為。

試題分析：（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長(zhǎng)度；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來(lái)求k的值：
（2）①求得拋物線y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)，若該點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，即表示該頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上；反之，該頂點(diǎn)不在函數(shù)圖象上。
②如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K．則EK是△ACB的中位線，所以根據(jù)三角形中位線定理易求點(diǎn)E的坐標(biāo)，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線即可求得t=2。
（3）如圖2，根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)是，則，由此可以求得a與t的關(guān)系式。由求得取得最大值時(shí)的x值，同時(shí)由時(shí)，取得最小值0，得出當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而增大。從而由題意，得，結(jié)合，求出t的取值范圍。