【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OC=3OA,拋物線C1的頂點(diǎn)為G.

(1)求出拋物線C1的解析式,并寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);

(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k0)個(gè)單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′,頂點(diǎn)為G′,當(dāng)A′B′G′是等邊三角形時(shí),求k的值:

(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn),試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N,使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與AOQ全等,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4);(2)k=1;(3)M1,0)、N1,﹣1);M2,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).

【解析】

1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo),將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得;

(2)設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,′G′Dx軸于點(diǎn)D,設(shè)BD′=m,由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m),代入所設(shè)解析式求解可得;

(3)設(shè)M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、PQN均為鈍角知AOQ≌△PQN,延長(zhǎng)PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H,證OQM≌△QNH,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程,解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可

(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),

OA=1,

OC=3OA,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c,得:,

解得:,

∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4);

(2)設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,

過(guò)點(diǎn)G′G′Dx軸于點(diǎn)D,設(shè)BD′=m,

∵△A′B′G′為等邊三角形,

G′D=B′D=m,

則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m),

將點(diǎn)B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,得:

,

解得:(舍),,

k=1;

(3)設(shè)M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),

PQ=OA=1,

∵∠AOQ、PQN均為鈍角,

∴△AOQ≌△PQN,

如圖2,延長(zhǎng)PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H,

則∠QHN=OMQ=90°,

又∵△AOQ≌△PQN,

OQ=QN,AOQ=PQN,

∴∠MOQ=HQN,

∴△OQM≌△QNH(AAS),

OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1,

解得:x=(負(fù)值舍去),

當(dāng)x=時(shí),HN=QM=﹣x2+2x+2=,點(diǎn)M(,0),

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為(+,﹣1),即(,﹣1);

或(,﹣1),即(1,﹣1);

如圖3,

同理可得OQM≌△PNH,

OM=PH,即x=﹣(﹣x2+2x+2)﹣1,

解得:x=﹣1(舍)或x=4,

當(dāng)x=4時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0),HN=QM=﹣(﹣x2+2x+2)=6,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4+6,﹣1)即(10,﹣1),或(4﹣6,﹣1)即(﹣2,﹣1);

綜上點(diǎn)M1,0)、N1,﹣1);M2,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),它們到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).

(1)幾秒后,點(diǎn)P、D的距離是點(diǎn)PQ的距離的2倍;

(2)幾秒后,△DPQ的面積是24cm2.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,m).

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)B軸的上,且OA=BA,反比例函數(shù)圖像上有一點(diǎn)C,且∠ABC=90°,求點(diǎn)C坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知一次函數(shù)ykx+k+1的圖象與一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象交于點(diǎn)A1,a).

1)求a、k的值;

2)根據(jù)圖象,寫(xiě)出不等式﹣x+4kx+k+1的解;

3)結(jié)合圖形,當(dāng)x2時(shí),求一次函數(shù)y=﹣x+4函數(shù)值y的取值范圍;

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,決定實(shí)行兩級(jí)收費(fèi)制,即每月用水量不超過(guò)12噸含12噸時(shí),每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)收費(fèi);每月超過(guò)12噸,超過(guò)部分每噸按市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)收費(fèi),小黃家1月份用水24噸,交水費(fèi)42元2月份用水20噸,交水費(fèi)32元

1求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)和市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)分別是多少元;

2設(shè)每月用水量為噸,應(yīng)交水費(fèi)為元,寫(xiě)出之間的函數(shù)關(guān)系式;

3小黃家3月份用水26噸,他家應(yīng)交水費(fèi)多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】我們定義:兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1,對(duì)稱(chēng)軸相同,且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)例如:的友好同軸二次函數(shù)為

請(qǐng)你分別寫(xiě)出的友好同軸二次函數(shù);

滿足什么條件的二次函數(shù)沒(méi)有友好同軸二次函數(shù)?滿足什么條件的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身?

如圖,二次函數(shù)與其友好同軸二次函數(shù)都與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B、C分別在、上,點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)均為,它們關(guān)于的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為,連結(jié),,CB.

,且四邊形為正方形,求m的值;

,且四邊形的鄰邊之比為1:2,直接寫(xiě)出a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,已知拋物線L1:y=﹣x2+2x+3x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,在L1上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸,垂足為D,將L1沿直線l翻折得到拋物線L2,交x軸于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).

(1)當(dāng)L1L2重合時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),求此時(shí)L2的解析式;并直接寫(xiě)出L1L2中,y均隨x的增大而減小時(shí)的x的取值范圍;

(3)連接PM,PB,設(shè)點(diǎn)P(m,n),當(dāng)n= m時(shí),求△PMB的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】小賢與小杰在探究某類(lèi)二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),經(jīng)歷了如下過(guò)程:

求解體驗(yàn)

(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線的表達(dá)式是 .

抽象感悟

我們定義:對(duì)于拋物線,軸上的點(diǎn)為中心,作該拋物線關(guān)于

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線 ,則我們又稱(chēng)拋物線為拋物線衍生拋物線,點(diǎn)衍生中心”.

(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為,若這兩條拋物線有交點(diǎn),求的取值范圍.

問(wèn)題解決

(3) 已知拋物線

①若拋物線的衍生拋物線為,兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求的值及衍生中心的坐標(biāo);

②若拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為 ,其頂點(diǎn)為;關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為,其頂點(diǎn)為;…;關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為,其頂點(diǎn)為;…(

正整數(shù)).的長(zhǎng)(用含的式子表示).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】二次函數(shù),是常數(shù),且中的的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示,則下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有(

;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),的值隨值的增大而減。

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案