Question

（2013•金華模擬）如圖，拋物線y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸交于O，A兩點．半徑為1的動圓（⊙P），圓心從O點出發(fā)沿拋物線向靠近點A的方向移動；半徑為2的動圓（⊙Q），圓心從A點出發(fā)沿拋物線向靠近點O的方向移動．兩圓同時出發(fā)，且移動速度相等，當運動到P，Q兩點重合時同時停止運動．設點P的橫坐標為t．
（1）點Q的橫坐標是

5-t

（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若⊙P與⊙Q相離，則t的取值范圍是

0≤t＜1或2＜t≤

5

2

．

Answer 1

分析：（1）連接OP、PQ、AQ．先根據(jù)拋物線的對稱性，得出y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸的兩個交點O與A關于拋物線的對稱軸x=

5

2

對稱，再證明四邊形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，根據(jù)等腰梯形的性質得出OM=AN=t．然后解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，求出OA=5，進而得出點Q的橫坐標是5-t；
（2）⊙P與⊙Q相離，包含兩種情況：①⊙P與⊙Q外離，根據(jù)兩圓外離時，圓心距＞兩圓半徑之和求解；②⊙P與⊙Q內含，根據(jù)兩圓內含時，圓心距＜兩圓半徑之差的絕對值求解．

解答：解：（1）連接OP、PQ、AQ．
∵拋物線y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸交于O，A兩點，
∴O與A關于拋物線的對稱軸x=

5

2

對稱，
又∵動圓（⊙P）的圓心從O點出發(fā)沿拋物線向靠近點A的方向移動；動圓（⊙Q）的圓心從A點出發(fā)沿拋物線向靠近點O的方向移動，兩圓同時出發(fā)，且移動速度相等，
∴OP=AQ，P與Q也關于直線x=

5

2

對稱，
∴四邊形OPQA是等腰梯形．
作等腰梯形OPQA的高PM、QN，則OM=AN=t．
解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，得x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0），OA=5，
∴ON=OA-AN=5-t，
∴點Q的橫坐標是5-t；

（2）若⊙P與⊙Q相離，分兩種情況：
①⊙P與⊙Q外離，則PQ＞2+1，即PQ＞3．
∵OM=AN=t，OA=5，
∴PQ=MN=OA-OM-AN=5-2t，
∴5-2t＞3，
解得t＜1，
又∵t≥0，
∴0≤t＜1；
②⊙P與⊙Q內含，則PQ＜2-1，即PQ＜1．
由①知PQ=5-2t，
∴5-2t＜1，
解得t＞2，
又∵兩圓分別從O、A兩點同時出發(fā)，且移動速度相等，當運動到P，Q兩點重合時同時停止運動，OA=5，點P的橫坐標為t，
∴2t≤5，解得t≤

5

2

．
∴2＜t≤

5

2

．
故答案為5-t；0≤t＜1或2＜t≤

5

2

．

點評：本題借助于動點主要考查了二次函數(shù)的性質，等腰梯形的性質，圓與圓的位置關系，題型比較新穎，難度適中．利用二次函數(shù)的對稱性等證明四邊形OPQA是等腰梯形是解（1）題的關鍵；進行分類討論是解（2）題的關鍵．