Question

（2009•河西區(qū)一模）如圖，在一個正方形的工件中心挖去一個小正方形（小正方形的四邊與大正方形的四邊分別平方），留下一個“方環(huán)”，現(xiàn)在要想求這個方環(huán)的面積，但只準測量一次（即只準測一條線段的長），你能辦到嗎？請敘述你的方法：

作正方形ABCD的外接圓，連接AO，過點E作AO的垂線交⊙O于M、N，只測量線段MN的長度就能知道這個方環(huán)的面積．

．

Answer 1

分析：由圖可知：方環(huán)面積=大正方形的面積-小正方形的面積，所以假設外面的大正方形是ABCD，邊長是a，小正方形的邊長是b，里面的小正方形與A相鄰的頂點是E，那么作正方形ABCD的外接圓O，連接AO，過點E作AO的垂線交圓O于M、N，只測量線段MN的長度就能知道這個方環(huán)的面積．

解答：解：連接OM，AO，過點E作AO的垂線交⊙O于M、N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OM=OA=

2

2

a，OE=

2

2

b，
∵MN⊥OA，
∴△MEO是直角三角形，ME=NF=

1

2

MN，
∴ME²=OM²-OE²=

1

4

（a²-b²），
∴（

1

2

MN）²=

1

4

（a²-b²），
即：MN²=a²-b²，
∵方環(huán)面積=a²-b²，
∴方環(huán)面積=MN²．
故答案為：作正方形ABCD的外接圓，連接AO，過點E作AO的垂線交⊙O于M、N，只測量線段MN的長度就能知道這個方環(huán)的面積．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形和垂徑定理以及勾股定理的運用，對訓練學生的動手操作能力來說是一道不錯的題目．