【題目】如圖,⊙E的圓心E(3,0),半徑為5,⊙E與y軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方),與x軸的正半軸交于點(diǎn)C,直線l的解析式為y= x+4,與x軸相交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上,當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離.

【答案】
(1)

解:如圖1,連接AE,由已知得:AE=CE=5,OE=3,

在Rt△AOE中,由勾股定理得:OA= = =4,

∵OC⊥AB,

∴由垂徑定理得:OB=OA=4,OC=OE+CE=3+5=8,

∴A(0,4),B(0,﹣4),C(8,0),

∵拋物線的頂點(diǎn)為C,

∴設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣8)2

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:64a=﹣4,

a=﹣ ,

∴y=﹣ (x﹣8)2

∴拋物線的解析式為:y=﹣ +x﹣4;


(2)

解:直線l與⊙E相切;

理由是:在直線l的解析式y(tǒng)= x+4中,

當(dāng)y=0時(shí),即 x+4=0,x=﹣ ,

∴D(﹣ ,0),

當(dāng)x=0時(shí),y=4,

∴點(diǎn)A在直線l上,

在Rt△AOE和Rt△DOA中,

, ,

∵∠AOE=∠DOA=90°,

∴△AOE∽△DOA,

∴∠AEO=∠DAO,

∵∠AEO+∠EAO=90°,

∴∠DAO+∠EAO=90°,

即∠DAE=90°,

∴直線l與⊙E相切;


(3)

解:如圖2,過點(diǎn)P作直線l的垂線PQ,過點(diǎn)P作直線PM⊥x軸,交直線l于點(diǎn)M,

設(shè)M(m, m+4),P(m,﹣ m2+m﹣4),

則PM= +4﹣(﹣ m2+m﹣4)= m+8= + ,

當(dāng)m=2時(shí),PM取最小值是

此時(shí),P(2,﹣ ),

對于△PQM,

∵PM⊥x軸,

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO,

又∠PQM=90°,

∴△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變,

∴在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,△PQM的三邊的比例關(guān)系不變,

∴當(dāng)PM取得最小值時(shí),PQ也取得最小值,

PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= = ,

∴當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P(2,﹣ )時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離最小,其最小距離為


【解析】(1)利用勾股定理求OA的長,由垂徑定理得:OB=OA=4,寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式;(2)先求直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再證明△AOE∽△DOA,可得結(jié)論:直線l與⊙E相切;(3)如圖2,作輔助線,構(gòu)建直角△PQM,根據(jù)解析式設(shè)M(m, m+4),P(m,﹣ m2+m﹣4),則PM= + ,當(dāng)m=2時(shí),PM取最小值是 ,計(jì)算點(diǎn)P(2,﹣ ),說明△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變,即△PQM的三邊的比例關(guān)系不變,當(dāng)PM取得最小值時(shí),PQ也取得最小值,根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算PQ的最小值即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B以 個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ為直角三角形;
(3)過點(diǎn)P作PE∥y軸,交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF∥y軸,交拋物線于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)EF∥PQ時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司計(jì)劃從本地向甲、乙兩地運(yùn)送海產(chǎn)品進(jìn)行銷售.本地與甲、乙兩地都有鐵路和公路相連(如圖所示),鐵路的單位運(yùn)價(jià)為2元/(噸千米),公路的單位運(yùn)價(jià)為3元/(噸千米)
(1)若公司計(jì)劃往甲、乙兩地運(yùn)輸海產(chǎn)品共需鐵路運(yùn)費(fèi)3680元,公路運(yùn)費(fèi)780元,求計(jì)劃從本地向甲乙兩地運(yùn)輸海產(chǎn)品各多少噸?
(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲地海產(chǎn)品的實(shí)際需求量比計(jì)劃減少a(a>0)噸,但運(yùn)到甲、乙兩地的總量不變,且運(yùn)到甲地的海產(chǎn)品不少于運(yùn)到乙地的海產(chǎn)品,當(dāng)a為多少時(shí),實(shí)際總運(yùn)費(fèi)w最低?最低總運(yùn)費(fèi)是多少? (參考公式:貨運(yùn)運(yùn)費(fèi)=單位運(yùn)價(jià)×運(yùn)輸里程×貨物重量)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在⊙O中,AC與BD是圓的直徑,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分別為E、F
(1)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形?請判斷并說明理由;
(2)求證:BE=CF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】觀察下列三行數(shù),并完成后面的問題:

-2,4,-8,16,……

1,-2,4,-8,……

0,-3,3,-9,……

(1)思考第①行數(shù)的規(guī)律,寫出第個(gè)數(shù)字是________

(2)設(shè)第②行第個(gè)數(shù)為第③行第個(gè)數(shù)為請直接寫出之間的關(guān)系;

(3)設(shè)分別表示第①、②、③行數(shù)的第2019個(gè)數(shù)字,的值。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形(如圖2).

(1)圖2中陰影部分的面積為   ;

(2)觀察圖2,請你寫出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之間的等量關(guān)系是  ;

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,若x+y=5,xy=4,求x﹣y的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商場購進(jìn)枇杷20噸,桃子12噸.現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果運(yùn)回,已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸,一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸.

1)如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運(yùn)到?有幾種方案?

2)若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)300元,乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)240元,則果商場應(yīng)選擇哪種方案,使運(yùn)輸費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等邊三角形ABC的外側(cè)作直線AP,點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接ADBD,其中BD交直線AP于點(diǎn)E.

(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)若∠PAC=20°,求∠AEB的度數(shù);

(3)連結(jié)CE,寫出AE, BE, CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:∠AOC=146°,OD為∠AOC的平分線,∠AOB=90°,BOD的度數(shù)_____

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