Question

已知：如圖一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）將B（0，1），D（1，0）的坐標(biāo)代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

c=1 b+c+ 1 2 =0

，
得解析式y(tǒng)=

1

2

x²-

3

2

x+1．（3分）

（2）設(shè)C（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
則有

y0= 1 2 x0+1 y0= 1 2 x02- 3 2 x0+1

解得

x0=4 y0=3

，
∴C（4，3）（6分）
由圖可知：S_{四邊形BDEC}=S_△ACE-S_△ABD，又由對稱軸為x=

3

2

可知E（2，0），
∴S=

1

2

AE•y₀-

1

2

AD×OB=

1

2

×4×3-

1

2

×3×1=

9

2

．（8分）

（3）設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在，令P（a，0）：
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖：過C作CF⊥x軸于F；
∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，
∴∠OBP=∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴

BO

PF

=

OP

CF

，
即

1

4-a

=

a

3

，
整理得a²-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P共有2個(gè)．