如圖,在銳角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE為高,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),連接DE、DF、EF,則結(jié)論:①B、E、D、C四點(diǎn)共圓;②AD•AC=AE•AB;③△DEF是等邊三角形;④當(dāng)∠ABC=45°時(shí),BE=
2
DE中,一定正確的有( 。
分析:根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=DF=BF=FC,從而可得B、E、D、C四點(diǎn)共圓;再根據(jù)割線定理即可證明AD•AC=AE•AB;先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD=30°,再根據(jù)同圓或等圓中,同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出∠EFD=60°,從而得到△DEF是等邊三角形;先判定△BCE是等腰直角三角形,然后求出BE=
2
2
BC,再根據(jù)等邊三角形的三邊相等整理即可得到BE=
2
DE.
解答:解:∵BD、CE為高,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),
∴EF=DF=BF=FC,
∴B、E、D、C四點(diǎn)共圓,故①小題正確;
∴AD•AC=AE•AB(割線定理),故②小題正確;
∵∠BAC=60°,BD為高,
∴∠ABD=30°,
∴∠EFD=2∠ABD=60°,
∴△EFD是等邊三角形,故③小題正確;
當(dāng)∠ABC=45°時(shí),∵CE為高,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴BE=
2
2
BC,
又∵DE=EF=
1
2
BC,
∴BE=
2
DE,故④小題正確;
綜上所述,正確的有①②③④共4個(gè).
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),圓周角定理,難度不大,求出EF=DF=BF=FC是解題的關(guān)鍵,也是求解本題的突破口.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在銳角△ABC中,以BC為直徑的半圓O分別交AB,AC與D、E兩點(diǎn),且cosA=
3
3
,則S△ADE:S四邊形DBCE的值為(  )
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
2
D、
3
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在銳角△ABC中,a>b>c,以某任意兩個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形,第三個(gè)頂點(diǎn)落在以這兩個(gè)頂點(diǎn)所確定的對(duì)邊上,這樣可以作三個(gè)面積相等的矩形,請(qǐng)問這三個(gè)矩形的周長(zhǎng)大小關(guān)系如何?(記ta、tb、tc分別以a、b、c為邊的矩形的周長(zhǎng))答:
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

25、如圖,在銳角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于D,以AD為直徑的⊙O分別交AB,AC于E,F(xiàn),連接DE,DF.
(1)求證:∠EAF+∠EDF=180°;
(2)已知P是射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PD=BD時(shí),連接AP,交⊙O于G,連接DG.設(shè)∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α與∠β有何數(shù)量關(guān)系?試證明你的結(jié)論.[在探究∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系時(shí),必要時(shí)可直接運(yùn)用(1)的結(jié)論進(jìn)行推理與解答]

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在銳角△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,AB邊上的高CE交BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作BC的垂線段MN,若EC=4,∠BCE=45°,則MN=
 
(結(jié)果保留三位有效數(shù)字).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在銳角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°.∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn).則BM+MN的最小值是
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2
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