Question

（2012•樂山）如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）點N（a，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求A點坐標(biāo)，得OA的長度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH的長度，得點M的橫坐標(biāo)；根據(jù)點M在直線上可求點M的坐標(biāo)．從而可求K的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求N點坐標(biāo)；作點N關(guān)于x軸的對稱點N₁，連接MN1與x軸的交點就是滿足條件的P點位置．

解答：解：
（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．…（1分）
∵tan∠AHO=2，∴OH=1．…（2分）
∵MH⊥x軸，∴點M的橫坐標(biāo)為1．
∵點M在直線y=2x+2上，

∴點M的縱坐標(biāo)為4．即M（1，4）．…（3分）
∵點M在y=

k

x

上，
∴k=1×4=4．…（4分）
（2）存在．
過點N作N關(guān)于x軸的對稱點N₁，連接MN₁，交x軸于P（如圖所示）．此時PM+PN最�。�
∵點N（a，1）在反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）上，
∴a=4．即點N的坐標(biāo)為（4，1）．…（5分）
∵N與N₁關(guān)于x軸的對稱，N點坐標(biāo)為（4，1），
∴N₁的坐標(biāo)為（4，-1）．…（7分）
設(shè)直線MN₁的解析式為y=kx+b．
由

4=k+b -1=4k+b.

解得k=-

5

3

，b=

17

3

．…（9分）
∴直線MN₁的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

．
令y=0，得x=

17

5

．
∴P點坐標(biāo)為（

17

5

，0）．…（10分）

點評：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線路最短問題，難度中等．