Question

（2012•長春一模）如圖，點(diǎn)A、B分別為拋物線y=-

1

3

x²+bx+4、y=

1

6

x²-2x+c與y軸交點(diǎn)，兩條拋物線都經(jīng)過點(diǎn)C（6，0）．點(diǎn)P、Q分別在拋物線y=-

1

3

x²+bx+4、y=

1

6

x²-2x+c上，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方，PQ平行y軸．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求b和c的值．
（2）求以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時m的值．
（3）當(dāng)m為何值時，線段PQ的長度取得最大值？并求出這個最大值．
（4）直接寫出線段PQ的長度隨m增大而減小的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入兩拋物線解析式，計(jì)算即可求出b、c的值；
（2）求出A、B的坐標(biāo)，然后求出AB的長度，再根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)利用拋物線解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后表示出PQ的長度，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等列出方程，然后求解即可得到m的值；
（3）根據(jù)線段PQ的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（4）根據(jù)PQ的表達(dá)式的頂點(diǎn)式形式，利用二次函數(shù)的增減性解答即可．

解答：解：（1）∵兩條拋物線都經(jīng)過點(diǎn)C（6，0），
∴-

1

3

×6²+6b+4=0，
解得b=

4

3

，

1

6

×6²-2×6+c=0，
解得c=6；

（2）根據(jù)題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），
所以，AB=2，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-

1

3

m²+

4

3

m+4），
∵PQ∥y軸，
∴點(diǎn)Q（m，

1

6

m²-2m+6），
∴PQ=（-

1

3

m²+

4

3

m+4）-（

1

6

m²-2m+6）=-

1

3

m²+

4

3

m+4-

1

6

m²+2m+6=-

1

2

m²+

10

3

m-2，
∴當(dāng)PQ=AB時，-

1

2

m²+

10

3

m-2=2，
整理得，3m²-20m+24=0，
解得m₁=

10+2 7

3

，m₂=

10-2 7

3

，
故以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，m的值為

10+2 7

3

或

10-2 7

3

；

（3）由（2）知，PQ=-

1

2

m²+

10

3

m-2=-

1

2

（m-

10

3

）²+

32

9

，
所以，當(dāng)m=

10

3

時，線段PQ的長度最大，線段PQ的最大長度為

32

9

；

（4）由（3）知，PQ=-

1

2

（m-

10

3

）²+

32

9

，
所以，線段PQ的長度隨m增大而減小的m的取值范圍是

10

3

≤m＜6．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c的值是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．