Question

【題目】已知拋物線C的解析式為y＝x2+2x﹣3，C與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點D，頂點為P．

（Ⅰ）求點A，B，D，P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若將拋物線C沿著直線PD的方向平移得到拋物線C′；

①當(dāng)拋物線C′與直線y＝2x﹣5只有一個公共點時，求拋物線C′的解析式；

②點M（xm，ym）是①中拋物線C′上一點，若﹣6≤xm≤2且ym為整數(shù)，求滿足條件的點M的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（I）點A、B、D的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），點P（﹣1，﹣4）；（II）①y＝x2﹣2x﹣1；②由滿足條件的點M的個數(shù)為51個．

【解析】

（I）對于y＝x2＋2x3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝3或1，即可求解；

（II）①求得直線PD的表達(dá)式為：y＝x3，則平移后拋物線的表達(dá)式為：y＝（xm）2＋m3，由△＝0，即可求解；

②當(dāng)6≤xm≤1時，2≤ym≤47，此時ym有50個整數(shù)；當(dāng)1＜xm≤2時，此時ym有1個整數(shù)，即可求解．

（I）對于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，則y＝﹣3，令y＝0，則x＝﹣3或1，

故點A、B、D的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），

函數(shù)的對稱軸為x＝﹣1，故點P（﹣1，﹣4）；

（II）①設(shè)直線PD的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線PD的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

則設(shè)平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為：（m，m﹣3），

故平移后拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣m）2+m﹣3，

又拋物線C′與直線y＝2x﹣5只有一個公共點，

則y＝（x﹣m）2+m﹣3＝2x﹣5，△＝0，

解得：m＝1，

∴平移后拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1；

②由①知平移后拋物線的頂點為（1，﹣2），

當(dāng)x＝﹣6時，y＝x2﹣2x﹣1＝47，當(dāng)x＝2時，y＝﹣1，

故當(dāng)﹣6≤xm≤1時，﹣2≤ym≤47，此時ym有50個整數(shù)；

當(dāng)1＜xm≤2時，此時ym有1個整數(shù)；

∵拋物線是連續(xù)的，

故滿足條件的點M的個數(shù)為51個．