Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

Answer 1

分析：（1）由C（0，3）和A（3，0）在拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）上，利用待定系數(shù)法求解即可求得所求拋物線的解析式；
（2）首先求得拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求得直線CD的解析式，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）分別從當(dāng)直線MN在x軸上方時與當(dāng)直線MN在x軸下方時去分析，設(shè)圓的半徑為r，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入函數(shù)解析式，即可求得答案．

解答：解：（1）∵C（0，3）和A（3，0）在拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）上，
∴

c=3 9a-6a+c=0

，
解得

a=-1 c=3

．
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3），
理由：∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，
則

n=3 m+n=4

，
解得

m=1 n=3

．
∴設(shè)直線CD的解析式為y=x+3．
在y=x+3中，當(dāng)y=0時，x=-3，
∴E（-3，0）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)y=0時，x=-1或3，
∴B（-1，0），
∵以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）．
代入拋物線的解析式，只有（2，3）符合．
∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，3）；

（3）①當(dāng)直線MN在x軸上方時，
設(shè)圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，r），
∵N（r+1，r）在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-（r+1）²+2（r+1）+3=r，
解得r1=

-1+ 17

2

，r2=

-1- 17

2

（不合，舍去），
②當(dāng)直線MN在x軸下方時，
設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，-R）．
∵N（R+1，-R）在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-（R+1）²+2（R+1）+3=-R．
解得R1=

1+ 17

2

，R2=

1- 17

2

（不合，舍去），
綜合①②可知，圓半徑的長度為

-1+ 17

2

或

1+ 17

2

．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用．