Question

矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0）、C（0，3），直線與BC邊相交于點D。

（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線經(jīng)過D、A兩點，試確定此拋物線的函數(shù)表達式；
（3）若P為x軸上方（2）中拋物線上一點，求△POA面積的最大值；
（4）設（2）中拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點Q為對稱軸上一動點，以Q、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點的坐標。

Answer 1

解：（1）直線與BC交于點D（x，3）， 把y=3代入中得，x=4， ∴D（4，3）。 （2）∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0）兩點， 把x=4，y=3；x=6，y=0分別代入y=ax2+bx中得， ，解得：， ∴拋物線的解析式為：。 （3）因△POA底邊OA=6， ∴當S△POA有最大值時，點P須位于拋物線的最高點， ∵<0， ∴拋物線頂點恰為最高點， ∵， ∴的最大值為。
（4）拋物線的對稱軸與x軸的交點Q1符合條件， ∵CB∥OA，∠Q1OM=∠CDO， ∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO， ∵，該點坐標為Q1（3，0）， 過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點Q2， ∵對稱軸平行于y軸， ∴∠Q2MO=∠DOC，  ∴Rt△Q2MO∽Rt△DOC， 在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中， Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC， ∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO， ∴CD=Q1Q2=4， ∵點Q2位于第四象限， ∴Q2（3，-4）， 因此，符合條件的點有兩個， 分別是Q1（3，0），Q2（3，-4）。