閱讀并解答:
①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
②方程2x2-x-2=0的根是x1=
1+
17
4
,x2=
1-
17
4
,則有x1+x2=
1
2
,x1x2=-1.
③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-
7
3
,x2=1,則有x1+x2=-
4
3
,x1x2=-
7
3

(1)根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明你的猜想;
(2)利用你的猜想結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:
已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.
分析:(1)由①②③中兩根之和與兩根之積的結(jié)果可以看出,兩根之和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù),兩根之積正好等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比.
(2)欲求k的值,先把代數(shù)式x12+x22變形為兩根之積或兩根之和的形式,然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組,解方程組即可求k值.
解答:解:(1)猜想為:設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則有x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a

理由:設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,
那么由求根公式可知,x1=
-b+
b2-4ac
2a
,x2=
-b-
b2-4ac
2a

于是有x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
,x1x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
,
綜上得,設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則有x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a


(2)x1、x2是方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴x1+x2=-(2k+1),x1x2=k2-2,
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x22-2x1x2
∴[-(2k+1)]2-2×(k2-2)=11
整理得k2+2k-3=0,
解得k=1或-3,
又∵△=[-(2k+1)]2-4(k2-2 )≥0,解得k≥-
9
4

∴k=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了學(xué)生的總結(jié)和分析能力,善于總結(jié),善于發(fā)現(xiàn),學(xué)會(huì)分析是學(xué)好數(shù)學(xué)必備的能力.
將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:安徽省期中題 題型:解答題

閱讀并解答:
①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
②方程x2﹣x﹣2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=﹣1.
③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣,x2=1,則有x1+x2=﹣,x1x2=﹣
(1)根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明你的猜想;
(2)利用你的猜想結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年安徽省巢湖市九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀并解答:
①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
②方程2x2-x-2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=-1.
③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-,x2=1,則有x1+x2=-,x1x2=-
(1)根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明你的猜想;
(2)利用你的猜想結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:
已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:第2章《一元二次方程》中考題集(15):2.3 公式法(解析版) 題型:解答題

閱讀并解答:
①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
②方程2x2-x-2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=-1.
③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-,x2=1,則有x1+x2=-,x1x2=-
(1)根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明你的猜想;
(2)利用你的猜想結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:
已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年安徽省巢湖市九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀并解答:
①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
②方程2x2-x-2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=-1.
③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-,x2=1,則有x1+x2=-,x1x2=-
(1)根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明你的猜想;
(2)利用你的猜想結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:
已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案