Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P，且OB=3OA，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B．

（1）求一次函數(shù)解析式；
（2）求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）平移直線AB使其過點(diǎn)P，如果點(diǎn)M在平移后的直線上，且 ，求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（4）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接AP交y軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)Q、N分別為兩線段PE、PD上的動(dòng)點(diǎn)，連接QD、QN，請直接寫出QD+QN的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），

∴OA=1

∵OB=3OA，

∴B（0，3）

∴圖象過A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為：y=3x+3

（2）

解：∵二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)B（0，3），

∴c=3，a=﹣1，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3

∴拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)P（1，4）

（3）

解：設(shè)平移后的直線的解析式為：y=3x+m

∵直線y=3x+m過P（1，4），

∴m=1，

∴平移后的直線為y=3x+1

∵M(jìn)在直線y=3x+1，且

設(shè)M（x，3x+1）

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，有 ，

∴ ，

∴

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，有 ，

∴ ，

∴ ，

（4）

解：作點(diǎn)D關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作D′N⊥PD于點(diǎn)N，

當(dāng)﹣x2+2x+3=0時(shí)，解得，x=﹣1或x=3，

∴A（﹣1，0），

P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

則可得PD解析式為：y=2x+2，

根據(jù)ND′⊥PD，

設(shè)ND′解析式為y=kx+b，

則k=﹣ ，

將D′（2，2）代入即可求出b的值，

可得函數(shù)解析式為y=﹣ x+3，

將兩函數(shù)解析式組成方程組得： ，

解得 ，

故N（ ， ），

由兩點(diǎn)間的距離公式：d= = ，

∴所求最小值為

【解析】（1）根據(jù)拋物線的解析式即可得出B（0，3），根據(jù)OB=3OA，可求出OA的長，也就得出了A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式中，即可得出所求；（2）將（1）得出的A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）易求出平移后的直線的解析式，可根據(jù)此解析式設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線的解析式表示出縱坐標(biāo)）．然后過M作x軸的垂線設(shè)垂足為E，在構(gòu)建的直角三角形AME中，可用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出ME和AE的長，然后根據(jù)∠OAM的正切值求出M的坐標(biāo)．（本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．方法一樣．）（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作D′N⊥PD于點(diǎn)N，根據(jù)垂線段最短求出QD+QN的最小值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�