Question

10．已知△ABC中，M為BC的中點，直線m  繞點A旋轉，過B，M，C 分別作BD⊥m于點D，ME⊥m于點E，CF⊥m于點F．當直線m經(jīng)過點B時，如圖1，可以得到$EM=\frac{1}{2}CF$．
（1）當直線m不經(jīng)過B點，旋轉到如圖 2，圖 3 的位置時，線段BD，ME，CF之間有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想．
圖2，猜想：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$；
圖3，猜想：$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$．
（2）選擇第（1）問中任意一種猜想加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以寫出圖2和圖3的猜想，從而本題得以解決；
（2）對于圖2和圖3的猜想可以畫出相應的圖形，利用圖1的結論可以推導出圖2和3猜想，并寫出證明過程．

解答 解：（1）圖2的猜想為：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$，
圖3的猜想為；$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$，
故答案為：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$，$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$；
（2）圖2的猜想證明如下，
連接DM并延長交FC的延長線于點K，
∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠DBM=∠KCM，
又∵M為BC的中點，

∴BM=CM，
在△DBM和△KCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠KCM}\\{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMK}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知：$EM=\frac{1}{2}FK$，
∴$ME=\frac{1}{2}（CF+CK）=\frac{1}{2}（CF+DB）$．
圖3的猜想證明如下，
連接DM并延長交FC于點K，

∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠MBD=∠KCM，
又∵M為BC的中點，
∴BM=CM，
在△DBM和△KCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBD=∠KCM}\\{M=CM}\\{∠BMD=∠CMK}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知：$ME=\frac{1}{2}FK$
∴$ME=\frac{1}{2}（CF-CK）=\frac{1}{2}（CF-DB）$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想、找出所求問題需要的條件．