【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5,過點A、B作⊙O,交AD、BC于點E、F,連接BE、CE,過點F作FG⊥CE,垂足為G.

(1)當點F是BC的中點時,求證:直線FG與⊙O相切;

(2)若FG∥BE時,求AE的長.

【答案】1證明見解析;2AE=14.

【解析】試題分析:1)連接OF,由點FBC的中點,得到BF=CF,在矩形ABCD中,∠A=90°,證得BE O的直徑,求得BO=OE,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OFCE,證得OFFG,即可得到結(jié)論;

2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BECE,由余角的性質(zhì)得到∠ABE=DEC,證得△ABE∽△CDE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)證明:連接OF,

∵點FBC的中點,

BF=CF,

在矩形ABCD,∵∠A=90°,

BEO的直徑,

BO=OE,

OFCE

FGCE,

OFFG,

∴直線FGO相切;

(2)FGBE,FGCE,

BECE,

∴∠AEB+DEC=90°

∵∠ABE+AEB=90°,

∴∠ABE=DEC,

∵∠A=D=90°

∴△ABE∽△CDE,

,

AB=2,AD=5,

CD=AB=2,

,

AE=1AE=4.

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