圖（1）是一個面積為1的黑色正三角形，順次連接它的三邊的中點，得到如圖（2）所示的第2個圖形（它的中間為一個白色的正三角形）；在圖（2）的每個黑色的正三角形中分別重復(fù)上述的作法，得到如圖（3）所示的第3個圖形．如此繼續(xù)作下去，則在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是
 
．
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分析：首先將所給的圖②與圖③中的黑色三角形的面積和求出來，注意利用相似三角形的面積比等于相似比的平方．然后得到規(guī)律：第n個圖形中所有黑色三角形的面積和是：（
3
4
）n-1，代入即可求得．
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解：∵D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，
∴
DE
AC
=
EF
AB
=
DF
BC
 =
1
2
，
∴△DEF∽△ABC，
∴
S△DEF
S△ABC
=（
DE
AC
）2=（
1
2
）2，
∴S△DEF=
1
4
，
∴圖②中所有黑色三角形的面積和是：1-
1
4
=
3
4
，
同理：圖三中各黑色三角形的面積和為：1-
1
16
×3-
1
4
=
9
16
=（
3
4
）2，
∴可得第n個圖形中所有黑色三角形的面積和是：（
3
4
）n-1．
∴在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是：（
3
4
）4．
故答案為：（
3
4
）4．
點評：此題考查了相似三角形的面積比等于相似比的平方．此題還考查了學(xué)生的分歸納能力．解題時要注意仔細分析．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圖（1）是一個面積為1的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2）；經(jīng)過第2次“生長”后變成圖（3），經(jīng)過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規(guī)律，請你利用這一規(guī)律求：①經(jīng)過第一次“生長”后的所有正方形的面積和為
2
2
，②經(jīng)過第10次“生長”后，圖中所有正方形的面積和為：
11
11
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圖（1）是一個面積為1的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2），經(jīng)過第2次“生長”后變成圖（3），經(jīng)過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規(guī)律，請你利用這一規(guī)律求經(jīng)過第10次“生長”后的圖中所有正方形的面積和為：
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11
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

圖（1）是一個面積為1的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2），經(jīng)過第2次“生長”后變成圖（3），經(jīng)過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規(guī)律，請你利用這一規(guī)律求經(jīng)過第10次“生長”后的圖中所有正方形的面積和為：______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年華師大版九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

圖（1）是一個面積為1的黑色正三角形，順次連接它的三邊的中點，得到如圖（2）所示的第2個圖形（它的中間為一個白色的正三角形）；在圖（2）的每個黑色的正三角形中分別重復(fù)上述的作法，得到如圖（3）所示的第3個圖形．如此繼續(xù)作下去，則在得到的第5個圖形中，所有黑色三角形的面積和是    ．

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