【題目】如圖1,已知以AE為直徑的半圓圓心為O,半徑為5,矩形ABCD的頂點B在直徑AE上,頂點C 在半圓上,AB=8,點P為半圓上一點(不與A、E兩點重合).
(1)矩形ABCD的邊BC的長為多少;
(2)將矩形沿直線AP折疊,點B落在點B′.
①點B′到直線AE的最大距離是多少;
②當點P與點C重合時,如圖2所示,AB′交DC于點M.
求證:四邊形AOCM是菱形,并通過證明判斷CB′與半圓的位置關系;
③當EB′∥BD時,直接寫出EB′的長為多少.
【答案】(1)4;(2)①8;②見解析;(3)滿足條件的EB′的長為4+2或4-2.
【解析】
(1)圖1中,在Rt△OBC中,求出BC即可;
(2)①圖1中,當點B′在直線AD上時,點B'到AE的距離最大,最大距離為8;②首先證明四邊形AOCM是平行四邊形,由OA=OC即可判定四邊形AOCM是菱形.只要證明∠OCB′=90°即可判定CB′與半圓相切;③圖3中,當EB′∥BD時,作AF⊥EB′于F.由△AEF∽△DBA,可得==,推出EF=4,AF=2,在Rt△AFB′中,FB′==2,即可推出EB′=4+2.圖4中,當EB′∥BD時,作AF⊥EB′于F,同法可求EB′.
(1)如圖1中,連接OC,
在Rt△BOC中,∵∠OBC=90°,OC=5,OB=3,
∴BC=;
(2)①如圖1中,當點B′在直線AD上時,點B'到AE的距離最大,最大距離為8.
②證明:
由折疊可知:∠OAC=∠MAC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCA=∠MAC,
∴OC∥AM,
又∵CM∥OA,
∴四邊形AOCM是平行四邊形,
又∵OA=OC,
∴□AOCM是菱形;
結論:CB′與半圓相切,
理由:由折疊可知:∠ABˊC=∠ABC=90°,
∵OC∥AM,
∴∠ABˊC+∠BˊCO=180°,
∴∠BˊCO=90°,
∴CBˊ⊥OC,
∴CBˊ與半圓相切;
③如圖3中,當EB′∥BD時,作AF⊥EB′于F,
由△AEF∽△DBA,
∴,
∴EF=4,AF=2,
在Rt△AFB′中,FB′=,
∴EB′=4+2,
如圖4中,當EB′∥BD時,作AF⊥EB′于F,
同法可得EF=4,F(xiàn)B′=2,
∴EB′=4-2.
綜上所述,滿足條件的EB′的長為4+2或4-2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我校舉行“漢字聽寫”比賽,每位學生聽寫漢字39個,比賽結束后隨機抽查部分學生的聽寫結果,以下是根據(jù)抽查結果繪制的統(tǒng)計圖的一部分.
組別 | 正確數(shù)字x | 人數(shù) |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中,m= ,n= ,并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是 .
(3)有三位評委老師,每位老師在E組學生完成學校比賽后,出示“通過”或“淘汰”或“待定”的評定結果.學校規(guī)定:每位學生至少獲得兩位評委老師的“通過”才能代表學校參加鄂州市“漢字聽寫”比賽,請用樹形圖求出E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E、交AC于D,連接BD.
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度數(shù).
(2)若△BCD的周長為16cm,△ABC的周長為26cm,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別是A(1,3),B(﹣2,﹣2),C(2,﹣1).
(1)畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1;
(2)寫出點A1,B1,C1的坐標;
(3)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖1,在中,,∠ABC=30°,,點、E分別是邊、AC上動點,點不與點、重合,DE∥BC.
(1)如圖1,當AE=1時,求長;
(2)如圖2,把沿著直線翻折得到,設
①當點F落在斜邊上時,求的值;
② 如圖3,當點F落在外部時,EF、DF分別與相交于點H、G,如果△ABC和△DEF重疊部分的面積為,求與的函數(shù)關系式及定義域.(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M(1,0),則稱此拋物線為定點拋物線.
(1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目:請你寫出一條定點拋物線的解析式.小敏寫出了一個正確的答案:y=2x2+3x-5.請你寫出一個不同于小敏的答案;
(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題:已知定點拋物線y=-x2+2bx+c,求該拋物線的頂點最低時的解析式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司的午餐采用自助的形式,并倡導員工“適度取餐,減少浪費”該公司共有10個部門,且各部門的人數(shù)相同.為了解午餐的浪費情況,從這10個部門中隨機抽取了兩個部門,進行了連續(xù)四周(20個工作日)的調查,得到這兩個部門每天午餐浪費飯菜的重量,以下簡稱“每日餐余重量”(單位:千克),并對這些數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息..部門每日餐余重量的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成6組:,,,):
.部門每日餐余重量在這一組的是:6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
.部門每日餐余重量如下:1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
. 兩個部門這20個工作日每日餐余重量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
部門 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
| 6.4 |
| 7.0 |
/p> | 6.6 | 7.2 |
|
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)寫出表中的值;
(2)在這兩個部門中,“適度取餐,減少浪費”做得較好的部門是________(填“”或“”),理由是____________;
(3)結合這兩個部門每日餐余重量的數(shù)據(jù),估計該公司(10個部門)一年(按240個工作日計算)的餐余總重量.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)和的圖象關于原點成中心對稱,我們就稱其中一個函數(shù)是另一個函數(shù)的中心對稱函數(shù),也稱函數(shù)和互為中心對稱函數(shù).
求函數(shù)的中心對稱函數(shù);
如圖,在平面直角坐標系xOy中,E,F(xiàn)兩點的坐標分別為,,二次函數(shù)的圖象經過點E和原點O,頂點為已知函數(shù)和互為中心對稱函數(shù);
請在圖中作出二次函數(shù)的頂點作圖工具不限,并畫出函數(shù)的大致圖象;
當四邊形EPFQ是矩形時,請求出a的值;
已知二次函數(shù)和互為中心對稱函數(shù),且的圖象經過的頂點當時,求代數(shù)式的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例y=的圖象與一次函數(shù)y=kx﹣3的圖象在第一象限內交于A(4,a).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)若直線x=n(0<n<4)與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象分別交于點B,C,連接AB,若△ABC是等腰直角三角形,求n的值.
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