【題目】已知四邊形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的兩邊分別與射線CB,DC相交于點E,F(xiàn),且∠EAF=60°.
(1)如圖1,當點E是線段CB的中點時,直接寫出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關系;
(2)如圖2,當點E是線段CB上任意一點時(點E不與B、C重合),求證:BE=CF;
(3)如圖3,當點E在線段CB的延長線上,且∠EAB=15°時,求點F到BC的距離.

【答案】
(1)

解:結論AE=EF=AF.理由:如圖1中

,連接AC,

∵四邊形ABCD是菱形,∠B=60°,

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,

∴△ABC,△ADC是等邊三角形,

∴∠BAC=∠DAC=60°

∵BE=EC,

∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,

∵∠EAF=60°,

∴∠CAF=∠DAF=30°,

∴AF⊥CD,

∴AE=AF(菱形的高相等),

∴△AEF是等邊三角形,

∴AE=EF=AF.


(2)

解:證明:如圖2中

,∵∠BAC=∠EAF=60°,

∴∠BAE=∠CAE,

在△BAE和△CAF中,

,

∴△BAE≌△CAF,

∴BE=CF.


(3)

解:

過點A作AG⊥BC于點G,過點F作FH⊥EC于點H,

∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,

∴∠AEB=45°,

在RT△AGB中,∵∠ABC=60°AB=4,

∴BG=2,AG=2 ,

在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,

∴AG=GE=2 ,

∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2,

∵△AEB≌△AFC,

∴AE=AF,EB=CF=2 ﹣2,∠AEB=∠AFC=45°,

∵∠EAF=60°,AE=AF,

∴△AEF是等邊三角形,

∴∠AEF=∠AFE=60°

∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,

∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,

在RT△EFH中,∠CEF=15°,

∴∠EFH=75°,

∵∠AFE=60°,

∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°,

∵∠AFC=45°,∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°,

在RT△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2 ﹣2,

∴FH=CFcos30°=(2 ﹣2) =3﹣

∴點F到BC的距離為3﹣


【解析】(1)結論AE=EF=AF.只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形.
    (2)欲證明BE=CF,只要證明△BAE≌△CAF即可.(3)過點A作AG⊥BC于點G,過點F作FH⊥EC于點H,根據(jù)FH=CFcos30°,因為CF=BE,只要求出BE即可解決問題. 本題考查四邊形綜合題、菱形的性質、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題,學會添加常用輔助線,屬于中考壓軸題.
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質,掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題.

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∴∠EFB=ADB=90°(垂直的定義)

EF      

∴∠1=      

又∵∠1=2(已知)

      

DGAB(   

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