Question

【題目】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O為邊AD上一點，以O為圓心，OA為半徑r作⊙O，過點B作⊙O的切線BF，F為切點．

（1）如圖1，當⊙O經過點C時，求⊙O截邊BC所得弦MC的長度；

（2）如圖2，切線BF與邊AD相交于點E，當FE＝FO時，求r的值；

（3）如圖3，當⊙O與邊CD相切時，切線BF與邊CD相交于點H，設△BCH、四邊形HFOD、四邊形FOAB的面積分別為S1、S2、S3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）CM＝；（2）r＝2﹣2；（3）1．

【解析】

（1）如圖1中，連接OM，OC，作OH⊥BC于H．首先證明CM＝2OD，設AO＝CO＝r，在Rt△CDO中，根據(jù)OC2＝CD2+OD2，構建方程求出r即可解決問題．

（2）證明△OEF，△ABE都是等腰直角三角形，設OA＝OF＝EF＝r，則OE＝r，根據(jù)AE＝2，構建方程即可解決問題．

（3）分別求出S1、S2、S3的值即可解決問題．

解：（1）如圖1中，連接OM，OC，作OH⊥BC于H．

∵OH⊥CM，

∴MH＝CH，∠OHC＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠HCD＝90°，

∴四邊形CDOH是矩形，

∴CH＝OD，CM＝2OD，

設AO＝CO＝r，

在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，

∴r2＝22+（3﹣r）2，

∴r＝，

∴OD＝3﹣r＝，

∴CM＝2OD＝．

（2）如圖2中，

∵BE是⊙O的切線，

∴OF⊥BE，

∵EF＝FO，

∴∠FEO＝45°，

∵∠BAE＝90°，

∴∠ABE＝∠AEB＝45°，

∴AB＝BE＝2，

設OA＝OF＝EF＝r，則OE＝r，

∴r+r＝2，

∴r＝2﹣2．

（3）如圖3中，

由題意：直線AB，直線BH，直線CD都是⊙O的切線，

∴BA＝BF＝2，FH＝HD，設FH＝HD＝x，

在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，

∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，

∴x＝，

∴CH＝，

∴S1＝

S2＝，

S3＝＝3，

∴．