Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并寫(xiě)出：

1

n(n+1)

=

 

；
（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并計(jì)算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：（1）從材料中可看出規(guī)律是

1

n

-

1

n+1

；
（2）直接根據(jù)規(guī)律求算式（2）中式子的值，即展開(kāi)后中間的項(xiàng)互相抵消為零，只剩下首項(xiàng)和末項(xiàng)，要注意的是末項(xiàng)的符號(hào)是負(fù)號(hào)，規(guī)律為

n

n+1

；
（3）觀察它的分母，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)因數(shù)的差為2，若把每一項(xiàng)展開(kāi)成差的形式，則分母是2，為了保持原式不變則需要再乘以

1

2

，即得出最后結(jié)果．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；
（2）①

2006

2007

；
②

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2006

-

1

2008

)
=

1

2

(

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2006

-

1

2008

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2008

)
=

1003

4016

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是有理數(shù)的運(yùn)算能力和學(xué)生的歸納總結(jié)能力．解題關(guān)鍵是會(huì)從材料中找到數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并利用數(shù)據(jù)之間的規(guī)律總結(jié)出一般結(jié)論，然后利用結(jié)論直接解題．本題中的難點(diǎn)是第（3）個(gè)問(wèn)題，找出分母因數(shù)的差為2，把每一項(xiàng)展開(kāi)成差的形式，則分母是2，所以為了保持原式不變需要再乘以

1

2

，是解決此題的關(guān)鍵．