九年級(jí)上冊(cè)的教材第118頁(yè)有這樣一道習(xí)題:
“在一塊三角形余料ABC中,它的邊BC=120mm,高線(xiàn)AD=80mm.要把它加工成正方形零件(如圖),使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm?”
(1)請(qǐng)你解答上題;
(2)若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形,其余條件不變,求矩形PQMN的面積S的最大值;
(3)我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”,若在習(xí)題的條件下,又知AB=150mm,AC=100mm,請(qǐng)分別寫(xiě)出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)(不必寫(xiě)出過(guò)程,只要直接寫(xiě)出答案即可,結(jié)果精確到1mm);
(4)結(jié)合第(1)、(3)題,若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,各邊上的高分別為ha,hb,hc,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,請(qǐng)寫(xiě)出a與ha必須滿(mǎn)足的條件(不必寫(xiě)出過(guò)程).

【答案】分析:(1)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm,然后表示出AE的長(zhǎng)度,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列出比例式,計(jì)算即可得解;
(2)設(shè)PN=x,用PQ表示出AE的長(zhǎng)度,然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答;
(3)根據(jù)AB、AC的長(zhǎng)度求出相應(yīng)邊上的高,然后根據(jù)(1)中的方法計(jì)算即可;
(4)用三角形的邊長(zhǎng)與相應(yīng)邊上的高表示出這邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),再根據(jù)正方形的面積越大,則邊長(zhǎng)越大解答.
解答:解:(1)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm,由條件可得△APN∽△ABC,
,
,
解得x=48mm;

(2)設(shè)PN=xmm,由條件可得△APN∽△ABC,

,
解得PQ=80-x.
∴S=PN•PQ=x(80-x)=-x2+80x=-(x-60)2+2400,
∴S的最大值為2400mm2;

(3)根據(jù)△ABC的面積,∵AB=150mm,AC=100mm,
∴AB邊上的高==64mm,
AC邊上的高==96mm,
根據(jù)(1)的方法,求AB邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),,
解得x=≈45;
求AC邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),,
解得x=≈49mm;

(4)根據(jù)(1)(3)題的結(jié)論,內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為三角形的面積除以相應(yīng)邊與這一邊上的高的和的一半,
所以,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,
必須a+ha<b+hb且a+ha<c+hc
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值問(wèn)題,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長(zhǎng)與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,此題規(guī)律性較強(qiáng),是道好題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

九年級(jí)上冊(cè)的教材第118頁(yè)有這樣一道習(xí)題:
“在一塊三角形余料ABC中,它的邊BC=120mm,高線(xiàn)AD=80mm.要把它加工成正方形零件(如圖),使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm?”
(1)請(qǐng)你解答上題;
(2)若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形,其余條件不變,求矩形PQMN的面積S的最大值;
(3)我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”,若在習(xí)題的條件下,又知AB=150mm,AC=100mm,請(qǐng)分別寫(xiě)出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)(不必寫(xiě)出過(guò)程,只要直接寫(xiě)出答案即可,結(jié)果精確到1mm);
(4)結(jié)合第(1)、(3)題,若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,各邊上的高分別為ha,hb,hc,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,請(qǐng)寫(xiě)出a與ha必須滿(mǎn)足的條件(不必寫(xiě)出過(guò)程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)模擬數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

九年級(jí)上冊(cè)的教材第118頁(yè)有這樣一道習(xí)題:
“在一塊三角形余料ABC中,它的邊BC=120mm,高線(xiàn)AD=80mm.要把它加工成正方形零件(如圖),使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm?”
(1)請(qǐng)你解答上題;
(2)若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形,其余條件不變,求矩形PQMN的面積S的最大值;
(3)我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”,若在習(xí)題的條件下,又知AB=150mm,AC=100mm,請(qǐng)分別寫(xiě)出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)(不必寫(xiě)出過(guò)程,只要直接寫(xiě)出答案即可,結(jié)果精確到1mm);
(4)結(jié)合第(1)、(3)題,若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,各邊上的高分別為ha,hb,hc,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,請(qǐng)寫(xiě)出a與ha必須滿(mǎn)足的條件(不必寫(xiě)出過(guò)程).                                             

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

九年級(jí)上冊(cè)的教材第118頁(yè)有這樣一道習(xí)題:

“在一塊三角形余料ABC中,它的邊BC=120mm,高線(xiàn)AD=80mm.要把它加工成正方形零件(如圖),使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm?”

(1)請(qǐng)你解答上題;

(2)若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形,其余條件不變,求矩形PQMN的面積S的最大值;

(3)我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”,若在習(xí)題的條件下,又知AB=150mm,AC=100mm,請(qǐng)分別寫(xiě)出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)(不必寫(xiě)出過(guò)程,只要直接寫(xiě)出答案即可,結(jié)果精確到1mm);

(4)結(jié)合第(1)、(3)題,若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,各邊上的高分別為ha,hb,hc,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,請(qǐng)寫(xiě)出a與ha必須滿(mǎn)足的條件(不必寫(xiě)出過(guò)程).                                              

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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“在一塊三角形余料ABC中,它的邊BC=120mm,高線(xiàn)AD=80mm.要把它加工成正方形零件(如圖),使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm?”
(1)請(qǐng)你解答上題;
(2)若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形,其余條件不變,求矩形PQMN的面積S的最大值;
(3)我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”,若在習(xí)題的條件下,又知AB=150mm,AC=100mm,請(qǐng)分別寫(xiě)出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)(不必寫(xiě)出過(guò)程,只要直接寫(xiě)出答案即可,結(jié)果精確到1mm);
(4)結(jié)合第(1)、(3)題,若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,各邊上的高分別為ha,hb,hc,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,請(qǐng)寫(xiě)出a與ha必須滿(mǎn)足的條件(不必寫(xiě)出過(guò)程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年浙江省杭州市育才中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

九年級(jí)上冊(cè)的教材第118頁(yè)有這樣一道習(xí)題:
“在一塊三角形余料ABC中,它的邊BC=120mm,高線(xiàn)AD=80mm.要把它加工成正方形零件(如圖),使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm?”
(1)請(qǐng)你解答上題;
(2)若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形,其余條件不變,求矩形PQMN的面積S的最大值;
(3)我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”,若在習(xí)題的條件下,又知AB=150mm,AC=100mm,請(qǐng)分別寫(xiě)出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)(不必寫(xiě)出過(guò)程,只要直接寫(xiě)出答案即可,結(jié)果精確到1mm);
(4)結(jié)合第(1)、(3)題,若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,各邊上的高分別為ha,hb,hc,要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大,請(qǐng)寫(xiě)出a與ha必須滿(mǎn)足的條件(不必寫(xiě)出過(guò)程).

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